Edit this page Backlinks This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong. ====== 8. Lazy evaluation ====== When passing **parameters** to a function, programming language design offers **two options** which are not mutually exclusive (both strategies can be implemented in the language): * **applicative** (also called **strict**) evaluation strategy: * parameters are always evaluated **first** * can be further refined into: **call-by-value** (e.g. as it happens in C) and **call-by-reference** (e.g. as it happens for objects in Java). * **normal** evaluation strategy (also called **non-strict**, and when implemented as part of the PL - **call-by-name**) * the function is always evaluated **first** * can be further refined into: **lazy**, which ensures that each expression is evaluated **at most once** For more details, see the lecture on lazy evaluation. In Haskell, the default evaluation strategy is **lazy**. However, there are ways in which we can force evaluation to be **strict**. In this lab, we will explore several programming constructs which benefit from lazy evaluation. ===== 8.1. Streams ===== 8.1.1. Define the stream of natural numbers ''nat :: [Integer]''\\ 8.1.2. Define the stream of odd numbers. You can use other higher-order functions such as filter, map or zipWith. 8.1.3. Define the stream of Fibonacci numbers ===== 8.2. Numerical approximations ===== 1. Definiți funcția ''build'' care primește un generator ''g'' și o valoare inițială ''a0'' și generează lista infinită: ''[a0, g a0, g (g a0), g (g (g a0)), .%%.%%. ]'' 2. Definiți funcția ''select'' care primește o toleranță $math[e] și o listă $math[l] și întoarce elementul $math[l_n] care satisface proprietatea: $math[abs(l_n - l_{n+1}) < e] === Constante numerice === == phi == Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi] (unde $math[F_n] este al n-lea element din șirul lui Fibonacci, iar $math[\varphi] este [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio|"proporția de aur"]]). Mai multe informații [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio#Relationship_to_Fibonacci_sequence|aici]]. 3. Scrieți o aproximare cu toleranță ''0.001'' a constantei $math[\varphi]. Folosiți-vă de stream-ul Fibonacci definit anterior. == pi == Fie șirul: $math[a_{n+1} = a_n + sin(a_n)]; unde $math[a_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar (dar diferită de 0 pentru ca $math[a_{n+1} != a_n]). Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \pi] 4. Scrieți o aproximare cu toleranță ''0.001'' a constantei $math[\pi]. === Rădăcină pătrată === Fiind dat un număr $math[k], vrem să găsim o aproximare numerică pentru $math[\sqrt{k}]. Fie șirul: $math[a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{k}{a_n})]; unde $math[a_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar. Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sqrt{k}]; mai multe informații găsiți [[https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method | aici]]. 5. Scrieți o funcție care aproximează $math[\sqrt{k}] cu toleranța ''0.001''. === Metoda Newton-Raphson === Șirul folosit pentru aproximarea rădăcinii pătrate se poate deriva din [[https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method|metoda Newton-Raphson]], o metodă generică pentru a găsi rădăcinile unei funcții (i.e. punctele $math[x] pentru care $math[f(x) = 0]). Astfel pentru o funcție $math[f], avem șirul: $math[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}] Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = r\ a.î.\ f(r) = 0]. 6. Scrieți o funcție care primește o funcție și derivata acesteia și aproximează o rădăcină cu toleranța ''0.001''. === Derivate === La exercițiul anterior, ne-am folosit de o altă funcție (implementată manual) care să ne calculeze exact derivata funcției $math[f]. Dacă nu avem o astfel de implementare, putem aproxima derivata unei funcții într-un anumit punct. Folosindu-ne de definiția derivatei: $math[\displaystyle f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}] Putem obține aproximări succesive din ce în ce mai bune ale derivatei unei funcții într-un punct $math[a], folosind un $math[h] din ce în ce mai mic. 7. Scrieți o funcție care să aproximeze derivata unei funcții într-un punct. Urmăriți pașii: a) generați șirul: $math[h_0, \frac{h_0}{2}, \frac{h_0}{4}, \frac{h_0}{8}, ...] (unde $math[h_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar)\\ b) generați lista aproximarilor lui $math[f'(a)], folosind formula de mai sus\\ c) scrieți funcția care primește o funcție $math[f] și un punct $math[a] și aproximează $math[f'(a)] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. === Integrale === Dându-se o funcție $math[f], putem aproxima integrala definită pe intervalul $ [a, b]$, folosind aria trapezului definit de $math[a, b, f(a), f(b)]: $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b - a)\frac{f(a)+f(b)}{2}] Putem obține o aproximare mai bună împărțind intervalul în două și însumând aria celor două trapeze definite de $math[a, m, f(a), f(m)] și de $math[m, b, f(m), f(b)] (unde $math[m] este mijlocul intervalului $ [a, b]$). Putem obține o aproximare și mai bună împărțind aceste două intervale în două și tot așa. 8. Scrieți o funcție care să aproximeze integrala unei funcții pe un interval. Urmăriți pașii: a) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și calculează aria trapezului $math[a, b, f(a), f(b)]\\ b) Scrieți o funcție care primește o listă (crescătoare) de puncte și inserează între oricare două elemente mijlocul acestor: ''[1, 4, 7, 10, 13] -%%>%% [1, 2.5, 4, 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13]'' c) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și o listă de puncte $math[p_0,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...] și întoarce lista ariilor trapezelor descrise de două puncte consecutive:\\ $math[(p_0, p_1, f(p_0), f(p_1));\ (p_1, p_2, f(p_1), f(p_2));\ (p_2, p_3, f(p_2), f(p_3));\ ...] d) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și aproximează $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. ===== Recommended Reading ===== * [[http://worrydream.com/refs/Hughes-WhyFunctionalProgrammingMatters.pdf| Why Functional Programming Matters (în special secțiunea 4 "Gluing Programs Together", de unde sunt inspirate exercițiile din laborator)]]