✎ aa:lab:sol:5 [books]

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
===== Soluții Laborator 5: Analiza probabilistă în Hashing =====

Această pagină conține explicații și răspunsuri pentru întrebările din laboratorul 5.

----

==== Exemplul 1: Paradoxul zilelor de naștere ====

**Întrebare 1:**  
Pentru ce valoare a lui n probabilitatea ca două persoane să aibă aceeași zi de naștere depășește 0.5?

**Răspuns:**  
Probabilitatea depășește 0.5 în jurul lui n = 23.  
Acest rezultat este contraintuitiv — chiar și într-un grup mic, șansele de coliziune sunt mari.

**Explicație:**  
Probabilitatea ca toate zilele să fie distincte este:

$$
P(\text{distincte}) = \frac{k!}{(k-n)! k^n}
$$

Pentru $k = 365$, dacă evaluăm numeric:
  * $n = 20$ → $P(\text{coliziune}) \approx 0.41$
  * $n = 23$ → $P(\text{coliziune}) \approx 0.507$
  * $n = 30$ → $P(\text{coliziune}) \approx 0.706$

**Legătură cu hashing:**  
Fiecare zi ≈ un slot hash, iar fiecare persoană ≈ un element inserat.  
La fel ca în hashing, chiar și cu multe sloturi disponibile, coliziunile devin probabile după doar \\( \sqrt{k} \\) inserări (ordine \\( O(\sqrt{k}) \\)).

----

**Întrebare 2:**  
Cum se aseamănă acest fenomen cu coliziunile într-o tabelă hash?

**Răspuns:**  
În ambele cazuri, avem o **alocare aleatoare** într-un spațiu finit de valori.  
Coliziunile apar mult mai devreme decât ne-am aștepta, iar acest lucru afectează eficiența căutărilor.

**Explicație scurtă:**  
Dacă spațiul are dimensiune \\( k \\), atunci după doar \\( \sqrt{k} \\) inserări, probabilitatea unei coliziuni devine semnificativă (≈50%).  
Asta înseamnă că pentru o tabelă hash cu \\( 10^6 \\) sloturi, e foarte probabil să apară coliziuni deja după câteva mii de inserări.

----

==== Exemplul 2: Problema colecționarului de cupoane ====

**Întrebare 1:**  
Cum crește numărul așteptat de extrageri odată cu \\( n \\)?

**Răspuns:**  
Numărul mediu de extrageri crește aproximativ proporțional cu \\( n \ln n \\).

**Explicație:**

$$
E[T] = n H_n = n (1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{n}) \approx n (\ln n + \gamma)
$$

unde \\( \gamma \approx 0.577 \\) este constanta lui Euler–Mascheroni.  
De exemplu:

| n  | E[T] teoretic | E[T] simulat |
|----|---------------|--------------|
| 10 | 29.3          | ≈ 29         |
| 50 | 224.5         | ≈ 225        |
| 100| 518.7         | ≈ 520        |

Astfel, timpul așteptat crește mai repede decât liniar, dar mult mai lent decât pătratic.

----

**Întrebare 2:**  
Ce analogie există între această problemă și procesul de „umplere” a unei tabele hash?

**Răspuns:**  
Problema colecționarului de cupoane este echivalentă cu procesul de inserare în hash până când **toate sloturile sunt ocupate**.  
Fiecare „cupon” reprezintă un slot distinct, iar fiecare extragere corespunde unei inserări.

**Explicație:**  
La început, găsim ușor sloturi libere (șanse mari de succes).  
Pe măsură ce tabela se umple, șansele de a găsi un slot nou scad — apar tot mai multe „coliziuni”.  
În medie, este nevoie de aproximativ \\( n \ln n \\) inserări pentru a umple toate sloturile.

----

==== Concluzie generală ====

  * **Coliziunile** apar mai devreme decât ne-am aștepta (≈\\( \sqrt{k} \\) inserări).  
  * **Umplerea completă** a unei tabele hash necesită în jur de \\( n \ln n \\) inserări.  
  * Aceste două fenomene definesc limitele probabilistice ale hashing-ului eficient.

----