Edit this page Backlinks This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong. 1. * $ f_{111}(M) = TRUE \iff M[111] \rightarrow TRUE$ O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{111}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{111}$: $ M, w \to t \to M^*$ După ce am găsit asta, mai ramane de demonstrat doar: $ f_{h}(M, w) = TRUE \iff f_{111}(M^*) = TRUE$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] return x == 111 </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{vom returna x == 111} \Rightarrow \text{când x este 111}, M^* \text{va tranziţiona în Y} => M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$ - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$. * $ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $ O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{p}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{p}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] check if x is palindrome </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa verificăm dacă x este palindrom} \Rightarrow \text{când x este palindrom}, M^* \text{va tranziţiona în Y} \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$ - $ f_{p}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{decide daca x este palindrom } \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$. * $ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$ O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{rev}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{rev}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] return rev(x) </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return} \Rightarrow f_{rev}(M^*) = TRUE$ - $ f_{rev}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{calculeaza rev(x) } \forall x \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$. * $ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$ O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{own}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{own}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> if x == enc(M*): run M[w] else: nu se termină </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow f_{own}(M^*) = TRUE$ - $ f_{own}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$. * $ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$ O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{finite}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{finite}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] pentru maxim |x| paşi dacă M[w] s-a oprit: nu se termina else: se termina </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{ se termină in n paşi} \Rightarrow M^*[w] \text{se opreşte } \forall x \text{, |x| < n}, \text{ciclează } \forall x \text{, |x| >= n} \Rightarrow f_{finite}(M^*) = TRUE$ - $ f_{finite}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ se opreşte după un număr finit de cuvinte }\Rightarrow \text{M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$. * $ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$ O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{set}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{set}$: $ M, w \to t \to A, M^*$ A = {101} $ M^*(x):$ <code> if x is in A: run M[w] else: nu se termină </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{se poate opri doar pentru x = 101} \Rightarrow f_{set}(A, M^*) = TRUE$ - $ f_{set}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{o să se oprească pentru orice x din A} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$. * $ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$ O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{x}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{x}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] print x </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{printează x la final} \Rightarrow f_{x}(M^*) = TRUE$ - $ f_{x}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ajunge să printeze x pe bandă} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$. * $ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie nu se termină) pentru orice cuvânt. O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{eq}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{eq}$: $ M, w \to t \to M_{1}, M_{2}$ $ M_{1}[x]: $ <code> acceptă </code> $ M_{2}[x]: $ <code> run M[w] acceptă </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x, iar } M_{1}[x] \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow \text{stim din construcţie că} M_{1} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M[w] \text{se opreşte} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$.