Edit this page Backlinks This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong. ====== Reduceri Turing ====== /* <hidden> <note important> Solutii: https://drive.google.com/file/d/1RUCQaVsHkMbFLBojUJ7ok5gy5Mq6-ce8/view?usp=sharing </note> </hidden> */ Reducerile Turing sunt o unealtă folositoare pentru a demonstra (ne)decidabilitatea/acceptabilitatea unor probleme. Vom folosi în mod predominant reducerile pentru a demonstra prin absurd că o problemă nouă $ f$ nu este decidabilă, atfel: * presupunem că $ f$ e decidabilă, deci există o mașină $ M_f$ care o decide * alegem o problemă //cunoscută// $ g$ despre care știm deja (dintr-o demonstrație anterioară de la curs/laborator) că este //nedecidabilă//. Un exemplu bun este problema terminării. * găsim o //transformare computabilă// $ T: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*$ pentru care propoziția $ \forall w \in \Sigma^*, g(w) = TRUE \iff f(T(w)) = TRUE$ este adevărată * putem deci să construim mașina $ M_g$ care pentru orice input $ w$ simulează $ M_T$, apoi $ M_f$; rezultatul fiind că $ g$ e decidabilă * în urma contradicției, concluzionăm că presupunerea e greșită, deci $ f$ nu e decidabilă. ===== Exerciții ===== <note> În continuare, aveti un {{:aa:lab:cheatsheet.pdf|}} pentru a va ajuta la rezolvări. </note> 1. Demonstrați, folosind reduceri, că următoarele probleme sunt nedecidabile: * $ f_{111}(M) = TRUE \iff M[111] \rightarrow TRUE$ <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{111}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{111}$: $ M, w \to t \to M^*$ După ce am găsit asta, mai ramane de demonstrat doar: $ f_{h}(M, w) = TRUE \iff f_{111}(M^*) = TRUE$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] return x == 111 </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{vom returna x == 111} \Rightarrow \text{când x este 111}, M^* \text{va tranziţiona în Y} => M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$ - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$. </hidden> * $ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $ <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{p}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{p}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] check if x is palindrome </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa verificăm dacă x este palindrom} \Rightarrow \text{când x este palindrom}, M^* \text{va tranziţiona în Y} \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$ - $ f_{p}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{decide daca x este palindrom } \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$. </hidden> * $ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$ <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{rev}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{rev}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] return rev(x) </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return} \Rightarrow f_{rev}(M^*) = TRUE$ - $ f_{rev}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{calculeaza rev(x) } \forall x \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$. </hidden> * $ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$ <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{own}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{own}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> if x == enc(M*): run M[w] else: nu se termină </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow f_{own}(M^*) = TRUE$ - $ f_{own}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$. </hidden> * $ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$ <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{finite}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{finite}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] pentru maxim |x| paşi dacă M[w] s-a oprit: nu se termina else: se termina </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{ se termină in n paşi} \Rightarrow M^*[w] \text{se opreşte } \forall x \text{, |x| < n}, \text{ciclează } \forall x \text{, |x| >= n} \Rightarrow f_{finite}(M^*) = TRUE$ - $ f_{finite}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ se opreşte după un număr finit de cuvinte }\Rightarrow \text{M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$. </hidden> * $ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$ <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{set}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{set}$: $ M, w \to t \to A, M^*$ A = {101} $ M^*(x):$ <code> if x is in A: run M[w] else: nu se termină </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{se poate opri doar pentru x = 101} \Rightarrow f_{set}(A, M^*) = TRUE$ - $ f_{set}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{o să se oprească pentru orice x din A} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$. </hidden> * $ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$ <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{x}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{x}$: $ M, w \to t \to M^*$ $ M^*(x):$ <code> run M[w] print x </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{printează x la final} \Rightarrow f_{x}(M^*) = TRUE$ - $ f_{x}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ajunge să printeze x pe bandă} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$. </hidden> * $ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie nu se termină) pentru orice cuvânt. <hidden> O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{eq}$. Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{eq}$: $ M, w \to t \to M_{1}, M_{2}$ $ M_{1}[x]: $ <code> acceptă </code> $ M_{2}[x]: $ <code> run M[w] acceptă </code> Demonstraţii: - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x, iar } M_{1}[x] \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow \text{cele 2 maşini au acelaşi comportament} \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow \text{cele 2 maşini au acelaşi comportament} \Rightarrow \text{stim din construcţie că} M_{1} \text{acceptă orice} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M[w] \text{se opreşte} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$. </hidden> 2. Construiți următoarele reduceri: * $ f_{all} \le_m f_{eq}$ * $ f_{any} \le_m f_{eq}$ * $ f_{p} \le_m f_{eq}$ * $ f_{own} \le_m f_{eq}$ 3. Demonstrați că relația $ \le_m$ e reflexivă și tranzitivă.