Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
|
pp:lazylab [2021/04/25 15:11] pdmatei |
pp:lazylab [2021/04/25 17:20] (current) calin_andrei.bucur |
||
|---|---|---|---|
| Line 16: | Line 16: | ||
| 8.1.1. Define the stream of natural numbers ''nat :: [Integer]''\\ | 8.1.1. Define the stream of natural numbers ''nat :: [Integer]''\\ | ||
| - | 8.1.2. Define the stream of odd numbers. You can use other higher-order functions such as filter, map or zipWith. | + | 8.1.2. Define the stream of odd numbers. You can use other higher-order functions such as filter, map or zipWith.\\ |
| 8.1.3. Define the stream of Fibonacci numbers | 8.1.3. Define the stream of Fibonacci numbers | ||
| ===== 8.2. Numerical approximations ===== | ===== 8.2. Numerical approximations ===== | ||
| - | 1. Definiți funcția ''build'' care primește un generator ''g'' și o valoare inițială ''a0'' și generează lista infinită: ''[a0, g a0, g (g a0), g (g (g a0)), .%%.%%. ]'' | + | 1. Define the ''build'' function which takes a generator ''g'' and an initial value ''a0'' and generates the infinite list: ''[a0, g a0, g (g a0), g (g (g a0)), .%%.%%. ]'' |
| - | 2. Definiți funcția ''select'' care primește o toleranță $math[e] și o listă $math[l] și întoarce elementul $math[l_n] care satisface proprietatea: $math[abs(l_n - l_{n+1}) < e] | + | 2. Define the ''select'' function which takes a tolerance $math[e] and a list $math[l] and returns the element $math[l_n] which satisfies the following condition: $math[abs(l_n - l_{n+1}) < e] |
| - | === Constante numerice === | + | === Numerical Constants === |
| - | == phi == | + | == Phi == |
| - | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi] (unde $math[F_n] este al n-lea element din șirul lui Fibonacci, iar $math[\varphi] este [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio|"proporția de aur"]]). Mai multe informații [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio#Relationship_to_Fibonacci_sequence|aici]]. | + | We know that $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi] (where $math[F_n] is the n-th element of the Fibonacci sequence, and $math[\varphi] is [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio|"the Golden Ratio"]]). More info [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio#Relationship_to_Fibonacci_sequence|here]]. |
| - | 3. Scrieți o aproximare cu toleranță ''0.001'' a constantei $math[\varphi]. Folosiți-vă de stream-ul Fibonacci definit anterior. | + | 3. Write an approximation with ''0.001'' tolerance for the $math[\varphi] constant. Use the previously defined Fibonacci stream. |
| - | == pi == | + | == Pi == |
| - | Fie șirul: | + | Consider the sequence: |
| - | $math[a_{n+1} = a_n + sin(a_n)]; unde $math[a_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar (dar diferită de 0 pentru ca $math[a_{n+1} != a_n]). | + | $math[a_{n+1} = a_n + sin(a_n)]; where $math[a_0] is an //initial approximation//, randomly chosen (but not 0 because $math[a_{n+1} != a_n]). |
| - | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \pi] | + | We know that $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \pi] |
| - | 4. Scrieți o aproximare cu toleranță ''0.001'' a constantei $math[\pi]. | + | 4. Write an approximation with ''0.001'' tolerance of the $math[\pi] constant. |
| - | === Rădăcină pătrată === | + | === Square Root === |
| - | Fiind dat un număr $math[k], vrem să găsim o aproximare numerică pentru $math[\sqrt{k}]. Fie șirul: | + | Given a number $math[k], we want to find a numerical approximation for $math[\sqrt{k}]. Consider the sequence: |
| - | $math[a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{k}{a_n})]; unde $math[a_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar. | + | $math[a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{k}{a_n})]; where $math[a_0] is an //initial approximation//, randomly chosen. |
| - | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sqrt{k}]; mai multe informații găsiți [[https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method | aici]]. | + | We know that $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sqrt{k}]; more info [[https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method | here]]. |
| - | 5. Scrieți o funcție care aproximează $math[\sqrt{k}] cu toleranța ''0.001''. | + | 5. Write a function that approximates $math[\sqrt{k}] with ''0.001'' tolerance. |
| - | === Metoda Newton-Raphson === | + | === The Newton-Raphson Method === |
| - | Șirul folosit pentru aproximarea rădăcinii pătrate se poate deriva din [[https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method|metoda Newton-Raphson]], o metodă generică pentru a găsi rădăcinile unei funcții (i.e. punctele $math[x] pentru care $math[f(x) = 0]). Astfel pentru o funcție $math[f], avem șirul: | + | The sequence used for the approximation of the square root can be derived from the [[https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method|Newton-Raphson method]], a generic method for finding the roots of a function (i.e. the points $math[x] for which $math[f(x) = 0]). Thus, for a function $math[f], we have the sequence: |
| $math[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}] | $math[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}] | ||
| - | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = r\ a.î.\ f(r) = 0]. | + | We know that $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = r\ a.î.\ f(r) = 0]. |
| - | 6. Scrieți o funcție care primește o funcție și derivata acesteia și aproximează o rădăcină cu toleranța ''0.001''. | + | 6. Write a function which takes a function and and its derivative and it approximates a root with ''0.001'' tolerance. |
| - | === Derivate === | + | === Derivatives === |
| - | La exercițiul anterior, ne-am folosit de o altă funcție (implementată manual) care să ne calculeze exact derivata funcției $math[f]. Dacă nu avem o astfel de implementare, putem aproxima derivata unei funcții într-un anumit punct. Folosindu-ne de definiția derivatei: | + | We can approximate the derivative of a function in a certain point using the definition of the derivative: |
| $math[\displaystyle f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}] | $math[\displaystyle f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}] | ||
| - | Putem obține aproximări succesive din ce în ce mai bune ale derivatei unei funcții într-un punct $math[a], folosind un $math[h] din ce în ce mai mic. | + | We can obtain better succesive approximations of the derivative in a point $math[a], using a smaller $math[h]. |
| - | 7. Scrieți o funcție care să aproximeze derivata unei funcții într-un punct. Urmăriți pașii: | + | 7. Write a function which approximates the derivative of a function in a certain point. follow the steps: |
| - | a) generați șirul: $math[h_0, \frac{h_0}{2}, \frac{h_0}{4}, \frac{h_0}{8}, ...] (unde $math[h_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar)\\ | + | a) generate the sequence: $math[h_0, \frac{h_0}{2}, \frac{h_0}{4}, \frac{h_0}{8}, ...] (where $math[h_0] is a randomly chosen //initial approximation//)\\ |
| - | b) generați lista aproximarilor lui $math[f'(a)], folosind formula de mai sus\\ | + | b) generate the list of approximations for $math[f'(a)], using the formula above\\ |
| - | c) scrieți funcția care primește o funcție $math[f] și un punct $math[a] și aproximează $math[f'(a)] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. | + | c) write the function that takes a function $math[f] and a point $math[a] and approximates $math[f'(a)] with ''0.001'' tolerance, using the previous steps. |
| - | === Integrale === | + | === Integrals (: === |
| - | Dându-se o funcție $math[f], putem aproxima integrala definită pe intervalul $ [a, b]$, folosind aria trapezului definit de $math[a, b, f(a), f(b)]: | + | Given a function $math[f], we can approximate the definite integral on $ [a, b]$, using the area of the trapezoid defined by $math[a, b, f(a), f(b)]: |
| $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b - a)\frac{f(a)+f(b)}{2}] | $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b - a)\frac{f(a)+f(b)}{2}] | ||
| - | Putem obține o aproximare mai bună împărțind intervalul în două și însumând aria celor două trapeze definite de $math[a, m, f(a), f(m)] și de $math[m, b, f(m), f(b)] (unde $math[m] este mijlocul intervalului $ [a, b]$). Putem obține o aproximare și mai bună împărțind aceste două intervale în două și tot așa. | + | We can obtain a better approximation by dividing the interval in two and adding the area of the two trapezoids defined by $math[a, m, f(a), f(m)] and $math[m, b, f(m), f(b)] (where $math[m] is the middle of the interval $ [a, b]$). We can obtain a better approximation by dividing these intervals in two and so on. |
| - | 8. Scrieți o funcție care să aproximeze integrala unei funcții pe un interval. Urmăriți pașii: | + | 8. Write a function which approximates the integral of a function on an interval. Follow the steps: |
| - | a) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și calculează aria trapezului $math[a, b, f(a), f(b)]\\ | + | a) Write a function which takes a function $math[f] and two points $math[a, b] and calculates the area of the trapezoid $math[a, b, f(a), f(b)]\\ |
| - | b) Scrieți o funcție care primește o listă (crescătoare) de puncte și inserează între oricare două elemente mijlocul acestor: | + | b) Write a function which takes a (ascending) list of points and inserts between any two points their middle: |
| ''[1, 4, 7, 10, 13] -%%>%% [1, 2.5, 4, 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13]'' | ''[1, 4, 7, 10, 13] -%%>%% [1, 2.5, 4, 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13]'' | ||
| - | c) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și o listă de puncte $math[p_0,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...] și întoarce lista ariilor trapezelor descrise de două puncte consecutive:\\ | + | c) Write a function which takes a function $math[f] and a list of points $math[p_0,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...] and returns the list containing the areas of trapezoids defined by two consecutive points:\\ |
| $math[(p_0, p_1, f(p_0), f(p_1));\ (p_1, p_2, f(p_1), f(p_2));\ (p_2, p_3, f(p_2), f(p_3));\ ...] | $math[(p_0, p_1, f(p_0), f(p_1));\ (p_1, p_2, f(p_1), f(p_2));\ (p_2, p_3, f(p_2), f(p_3));\ ...] | ||
| - | d) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și aproximează $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. | + | d) Write a function which takes a function $math[f] and two points $math[a, b] and approximates $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx] with ''0.001'' tolerance, using the previous steps. |
| ===== Recommended Reading ===== | ===== Recommended Reading ===== | ||
| - | * [[http://worrydream.com/refs/Hughes-WhyFunctionalProgrammingMatters.pdf| Why Functional Programming Matters (în special secțiunea 4 "Gluing Programs Together", de unde sunt inspirate exercițiile din laborator)]] | + | * [[http://worrydream.com/refs/Hughes-WhyFunctionalProgrammingMatters.pdf| Why Functional Programming Matters (especially section 4 "Gluing Programs Together", where the lab exercises are inspired from)]] |