Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
|
pp:l06 [2019/04/14 14:39] dmihai [II. Aproximații numerice] |
pp:l06 [2020/02/05 15:50] (current) dmihai [Exerciții:] |
||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | ====== Întârzierea evaluării ====== | + | ====== Evaluare leneșă ====== |
| Line 17: | Line 17: | ||
| <code>(λx.λy.(x + y) 1 (λz.(z + 2) 3))</code> | <code>(λx.λy.(x + y) 1 (λz.(z + 2) 3))</code> | ||
| - | Desigur, evaluarea expresiei ''(λz.(z + 2) 3)'' va genera valoarea ''5'', de unde deducem că rezultatul final al expresiei va fi ''6'' ( adunarea lui 1 cu rezultatul anterior ). În cadrul acestui raționament, am presupus că parametrii sunt evaluați înaintea aplicării funcției asupra acestora. Vom vedea, în cele ce urmează, că evaluarea se poate realiza și in alt mod. | + | Desigur, evaluarea expresiei ''(λz.(z + 2) 3)'' va genera valoarea ''5'', de unde deducem că rezultatul final al expresiei va fi ''6'' (adunarea lui 1 cu rezultatul anterior). În cadrul acestui raționament, am presupus că parametrii sunt evaluați înaintea aplicării funcției asupra acestora. Vom vedea, în cele ce urmează, că evaluarea se poate realiza și in alt mod. |
| ====Evaluare aplicativă==== | ====Evaluare aplicativă==== | ||
| Line 39: | Line 39: | ||
| ===== Exerciții: ===== | ===== Exerciții: ===== | ||
| + | |||
| + | {{:pp:lazy.zip|Laborator 8 - Schelet}}\\ | ||
| ==== I. Streams ==== | ==== I. Streams ==== | ||
| Line 51: | Line 53: | ||
| 2. Definiți funcția ''select'' care primește o toleranță $math[e] și o listă $math[l] și întoarce elementul $math[l_n] care satisface proprietatea: $math[abs(l_n - l_{n+1}) < e] | 2. Definiți funcția ''select'' care primește o toleranță $math[e] și o listă $math[l] și întoarce elementul $math[l_n] care satisface proprietatea: $math[abs(l_n - l_{n+1}) < e] | ||
| + | |||
| + | === Constante numerice === | ||
| + | |||
| + | == phi == | ||
| + | |||
| + | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi] (unde $math[F_n] este al n-lea element din șirul lui Fibonacci, iar $math[\varphi] este [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio|"proporția de aur"]]). Mai multe informații [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio#Relationship_to_Fibonacci_sequence|aici]]. | ||
| + | |||
| + | 3. Scrieți o aproximare cu toleranță ''0.001'' a constantei $math[\varphi]. Folosiți-vă de stream-ul Fibonacci definit anterior. | ||
| + | |||
| + | == pi == | ||
| + | |||
| + | Fie șirul: | ||
| + | |||
| + | $math[a_{n+1} = a_n + sin(a_n)]; unde $math[a_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar (dar diferită de 0 pentru ca $math[a_{n+1} != a_n]). | ||
| + | |||
| + | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \pi] | ||
| + | |||
| + | 4. Scrieți o aproximare cu toleranță ''0.001'' a constantei $math[\pi]. | ||
| === Rădăcină pătrată === | === Rădăcină pătrată === | ||
| Line 60: | Line 80: | ||
| Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sqrt{k}]; mai multe informații găsiți [[https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method | aici]]. | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sqrt{k}]; mai multe informații găsiți [[https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method | aici]]. | ||
| - | 3. Scrieți o funcție care aproximează $math[\sqrt{k}] cu toleranța ''0.001''. | + | 5. Scrieți o funcție care aproximează $math[\sqrt{k}] cu toleranța ''0.001''. |
| === Metoda Newton-Raphson === | === Metoda Newton-Raphson === | ||
| Line 70: | Line 90: | ||
| Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = r\ a.î.\ f(r) = 0]. | Știm că $math[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = r\ a.î.\ f(r) = 0]. | ||
| - | 4. Scrieți o funcție care primește o funcție și derivata acesteia și aproximează o rădăcină cu toleranța ''0.001''. | + | 6. Scrieți o funcție care primește o funcție și derivata acesteia și aproximează o rădăcină cu toleranța ''0.001''. |
| === Derivate === | === Derivate === | ||
| - | Folosindu-ne de definiția derivatei: | + | La exercițiul anterior, ne-am folosit de o altă funcție (implementată manual) care să ne calculeze exact derivata funcției $math[f]. Dacă nu avem o astfel de implementare, putem aproxima derivata unei funcții într-un anumit punct. Folosindu-ne de definiția derivatei: |
| $math[\displaystyle f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}] | $math[\displaystyle f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}] | ||
| - | Putem obține aproximări succesive din ce în ce mai bune ale derivatei unei funcții într-un anumit punct, folosind un $math[h] din ce în ce mai mic. | + | Putem obține aproximări succesive din ce în ce mai bune ale derivatei unei funcții într-un punct $math[a], folosind un $math[h] din ce în ce mai mic. |
| - | 5. Scrieți o funcție care să aproximeze derivata unei funcții într-un punct. Urmăriți pașii: | + | 7. Scrieți o funcție care să aproximeze derivata unei funcții într-un punct. Urmăriți pașii: |
| - | a) generați șirul: $math[h_0, \frac{h_0}{2}, \frac{h_0}{4}, \frac{h_0}{8}, ...] (unde $math[h_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar\\ | + | a) generați șirul: $math[h_0, \frac{h_0}{2}, \frac{h_0}{4}, \frac{h_0}{8}, ...] (unde $math[h_0] este o //aproximare inițială//, aleasă arbitrar)\\ |
| b) generați lista aproximarilor lui $math[f'(a)], folosind formula de mai sus\\ | b) generați lista aproximarilor lui $math[f'(a)], folosind formula de mai sus\\ | ||
| c) scrieți funcția care primește o funcție $math[f] și un punct $math[a] și aproximează $math[f'(a)] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. | c) scrieți funcția care primește o funcție $math[f] și un punct $math[a] și aproximează $math[f'(a)] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. | ||
| Line 90: | Line 110: | ||
| Dându-se o funcție $math[f], putem aproxima integrala definită pe intervalul $ [a, b]$, folosind aria trapezului definit de $math[a, b, f(a), f(b)]: | Dându-se o funcție $math[f], putem aproxima integrala definită pe intervalul $ [a, b]$, folosind aria trapezului definit de $math[a, b, f(a), f(b)]: | ||
| - | $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b - a)\frac{a+b}{2}] | + | $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b - a)\frac{f(a)+f(b)}{2}] |
| Putem obține o aproximare mai bună împărțind intervalul în două și însumând aria celor două trapeze definite de $math[a, m, f(a), f(m)] și de $math[m, b, f(m), f(b)] (unde $math[m] este mijlocul intervalului $ [a, b]$). Putem obține o aproximare și mai bună împărțind aceste două intervale în două și tot așa. | Putem obține o aproximare mai bună împărțind intervalul în două și însumând aria celor două trapeze definite de $math[a, m, f(a), f(m)] și de $math[m, b, f(m), f(b)] (unde $math[m] este mijlocul intervalului $ [a, b]$). Putem obține o aproximare și mai bună împărțind aceste două intervale în două și tot așa. | ||
| - | 6. Scrieți o funcție care să aproximeze integrala unei funcții pe un interval. Urmăriți pașii: | + | 8. Scrieți o funcție care să aproximeze integrala unei funcții pe un interval. Urmăriți pașii: |
| a) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și calculează aria trapezului $math[a, b, f(a), f(b)]\\ | a) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și calculează aria trapezului $math[a, b, f(a), f(b)]\\ | ||
| Line 101: | Line 121: | ||
| ''[1, 4, 7, 10, 13] -%%>%% [1, 2.5, 4, 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13]'' | ''[1, 4, 7, 10, 13] -%%>%% [1, 2.5, 4, 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13]'' | ||
| - | c) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și o listă de puncte $math[p_0,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...] și întoarce suma ariilor trapezelor descrise de două puncte consecutive:\\ | + | c) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și o listă de puncte $math[p_0,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...] și întoarce lista ariilor trapezelor descrise de două puncte consecutive:\\ |
| - | $math[A(p_0, p_1, f(p_0), f(p_1))+A(p_1, p_2, f(p_1), f(p_2))+A(p_2, p_3, f(p_2), f(p_3)+\ ...] | + | $math[(p_0, p_1, f(p_0), f(p_1));\ (p_1, p_2, f(p_1), f(p_2));\ (p_2, p_3, f(p_2), f(p_3));\ ...] |
| d) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și aproximează $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. | d) Scrieți o funcție care primește o funcție $math[f] și două puncte $math[a, b] și aproximează $math[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx] cu toleranța ''0.001'', folosindu-vă de subpunctele anterioare. | ||
| + | |||
| + | ===== Recommended Reading ===== | ||
| + | |||
| + | * [[http://worrydream.com/refs/Hughes-WhyFunctionalProgrammingMatters.pdf| Why Functional Programming Matters (în special secțiunea 4 "Gluing Programs Together", de unde sunt inspirate exercițiile din laborator)]] | ||