Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
lfa:exercise-sheet-3-solution [2021/01/26 09:56]
pdmatei 		lfa:exercise-sheet-3-solution [2021/01/26 10:00] (current)
pdmatei
Line 5: Line 5:
 **Solutie:​** **Solutie:​**
  
-Alegem (tentativ) $math[w_n = 0^{2^n}]. Conform lemei de pompare pentru LIC, cuvantul $math[w_n] este de forma $math[xyzuv],​ unde $math[\mid yzu \mid \leq n] si $math[yu \neq \epsilon]. Cautam o valoare pentru $math[i] astfel incat $math[xy^izu^iv \not\in L_1]. Folosim notatia $math[\#​\alpha] pentru a ne referi la lungimea sirului $math[\alpha]. Astfel, conditia anterioara devine $math[\#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v \neq 2^k], pentru un $math[k] natural. Vom incerca sa alegem un $math[i>​0] dar suficient de mic astfel incat $math[\#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v < 2^{n+1}]. Prelucram conditia in $math[2^n + (i-1)\#y + (i-1)\#u < 2^{n+1}] si observam ca pentru $math[i=2] obtinem inegalitatile:​ $math[2^n + \#y + \#u \leq 2^n + n < 2^{n+1}], pt orice $math[n\geq 0].+Alegem (tentativ) $math[w_n = 0^{2^n}]. Conform lemei de pompare pentru LIC, cuvantul $math[w_n] este de forma $math[xyzuv],​ unde $math[\mid yzu \mid \leq n] si $math[yu \neq \epsilon]. Cautam o valoare pentru $math[i] astfel incat $math[xy^izu^iv \not\in L_1]. Folosim notatia $math[\#​\alpha] pentru a ne referi la lungimea sirului $math[\alpha]. Astfel, conditia anterioara devine $math[\#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v \neq 2^k], pentru un $math[k] natural. Vom incerca sa alegem un $math[i>​0] dar suficient de mic astfel incat $math[\#x + i\#y + \#z + i\#u + \#v < 2^{n+1}]. Prelucram conditia in $math[2^n + (i-1)\#y + (i-1)\#u < 2^{n+1}] si observam ca pentru $math[i=2] obtinem inegalitatile:​ $math[2^n + \#y + \#u \leq 2^n + n < 2^{n+1}], pt orice $math[n\geq 0]. 
  
 2. $ L_2 = \{ a^nb^mc^nd^m \mid n, m \ge 0 \}$ 2. $ L_2 = \{ a^nb^mc^nd^m \mid n, m \ge 0 \}$
 +
 +**Solutie:​**
 +Alegem $math[w_n = a^nb^nc^nd^n]. Conform lemei de pompare pentru LIC, fragmentul $math[yzu] are lungime mai mica sau egala cu $math[n] si, indiferent cum ar fi pozitionat, el nu va putea contine toti simbolii din alfabet ($math[\{a,​b,​c,​d\}]). Asadar, pt $math[i=0], este garantat ca $math[xy^izu^iv] nu va contine un numar egal de $math[a]-uri,​ $math[b]-uri,​ $math[c]-uri si $math[d]-uri.