Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Next revision | Previous revision | ||
|
aa:lab:sol:8 [2023/12/10 15:26] dmihai created |
aa:lab:sol:8 [2023/12/11 16:06] (current) vlad.juja |
||
|---|---|---|---|
| Line 17: | Line 17: | ||
| </note> | </note> | ||
| - | 0. Dacă $ f \le_P g$ și $ g \le_P h$, atunci $ f \le_P h$ | + | 1. Dacă $ f \le_P g$ și $ g \le_P h$, atunci $ f \le_P h$ |
| Propoziția ne spune că relația $ \le_P$ e **tranzitivă**. | Propoziția ne spune că relația $ \le_P$ e **tranzitivă**. | ||
| - | Există o transformare $ t_1$ de la $ f$ la $ g$ computabilă în timp $ O(n^i). | + | Există o transformare $ t_1$ de la $ f$ la $ g$ computabilă în timp $ O(n^i)$. |
| - | Există o transformare $ t_2$ de la $ g$ la $ h$ computabilă în timp $ O(n^j). | + | Există o transformare $ t_2$ de la $ g$ la $ h$ computabilă în timp $ O(n^j)$. |
| - | Compunerea lor e o transformare computabilă în timp $ O(n^ij)$ și e o transformare de la $ f$ la $ h$. | + | Compunerea lor e o transformare computabilă în timp $ O(n^{ij})$ și e o transformare de la $ f$ la $ h$. |
| - | 1. Dacă $ f \in NP$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NP$ | + | 2. Dacă $ f \in NP$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NP$ |
| Considerăm definiția (3); dacă transformarea e computabilă în timp polinomial determinist, e computabilă și în timp polinomial nondeterminist, e.g.$ N_t$ computează $ t$ în timp $ O(n^i)$. | Considerăm definiția (3); dacă transformarea e computabilă în timp polinomial determinist, e computabilă și în timp polinomial nondeterminist, e.g.$ N_t$ computează $ t$ în timp $ O(n^i)$. | ||
| Line 31: | Line 31: | ||
| Considerăm definiția (2); $ N_f$ decide $ f$ în $ O(n^j)$. | Considerăm definiția (2); $ N_f$ decide $ f$ în $ O(n^j)$. | ||
| - | Compunând mașinile pentru $ t$ și $ f$, obținem o MTN $ N_g$ care decide $ g$ în timp $ O(n^ij)$. | + | Compunând mașinile pentru $ t$ și $ f$, obținem o MTN $ N_g$ care decide $ g$ în timp $ O(n^{ij})$. |
| - | 2. Dacă $ f \in P$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NP$ | + | 3. Dacă $ f \in P$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NP$ |
| - | Considerând definițiile (1) și (3), putem compune cele două mașini într-o mașină deterministă $ D_g$ care decide $ g$ în timp $ O(n^ij)$. | + | Considerând definițiile (1) și (3), putem compune cele două mașini într-o mașină deterministă $ D_g$ care decide $ g$ în timp $ O(n^{ij})$. |
| Deci $ g \in P$. | Deci $ g \in P$. | ||
| Dar știm că $ P \subseteq NP$, deci $ g \in NP$. | Dar știm că $ P \subseteq NP$, deci $ g \in NP$. | ||
| - | 3. Dacă $ f \in NPC$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NPC$ | + | 4. Dacă $ f \in NPC$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NPC$ |
| Din (5) și (4) reiese că orice funcție din $ NP$ se reduce la $ f$. | Din (5) și (4) reiese că orice funcție din $ NP$ se reduce la $ f$. | ||
| Line 47: | Line 47: | ||
| Aici ne putem folosi de argumentul de la primul exercițiu. | Aici ne putem folosi de argumentul de la primul exercițiu. | ||
| - | 4. Dacă $ f \in NPH$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NPC$ | + | 5. Dacă $ f \in NPH$ și $ g \le_P f$, atunci $ g \in NPC$ |
| Același argument ca la exercițiul anterior; de data asta nu putem argumenta nici măcar că $ g \in NP$. | Același argument ca la exercițiul anterior; de data asta nu putem argumenta nici măcar că $ g \in NP$. | ||
| - | 5. Dacă $ f \in NPC$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPC$ | + | 6. Dacă $ f \in NPC$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPC$ |
| Din tranzitivitatea relațiti $ \le_P$, reiese că orice funcție din $ NP$ se reduce la $ g$. | Din tranzitivitatea relațiti $ \le_P$, reiese că orice funcție din $ NP$ se reduce la $ g$. | ||
| Dar asta înseamnă doar că $ g \in NPH$; $ g$ ar putea să nu fie în $ NP$, deci propoziția e falsă. | Dar asta înseamnă doar că $ g \in NPH$; $ g$ ar putea să nu fie în $ NP$, deci propoziția e falsă. | ||
| - | 6. Dacă $ f \in NPC$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPH$ | + | 7. Dacă $ f \in NPC$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPH$ |
| Același argument de mai sus; deci propoziția e adevărată. | Același argument de mai sus; deci propoziția e adevărată. | ||
| - | 7. Dacă $ f \in NP$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPC$ | + | 8. Dacă $ f \in NP$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPC$ |
| Propoziția e falsă; ca $ g \in NPC$, ar trebui ca **toate** funcțiile din $ NP$ să se reducă la ea și $ g \in NP$, dar nu știm asta despre $ g$. Propoziția e falsă. | Propoziția e falsă; ca $ g \in NPC$, ar trebui ca **toate** funcțiile din $ NP$ să se reducă la ea și $ g \in NP$, dar nu știm asta despre $ g$. Propoziția e falsă. | ||
| - | 8. Dacă $ f \in NP$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPH$ | + | 9. Dacă $ f \in NP$ și $ f \le_P g$, atunci $ g \in NPH$ |
| Propoziția e falsă; ca $ g \in NPH$, ar trebui ca **toate** funcțiile din $ NP$ să se reducă la ea; dar știm asta doar despre o funcție anume $ f$. | Propoziția e falsă; ca $ g \in NPH$, ar trebui ca **toate** funcțiile din $ NP$ să se reducă la ea; dar știm asta doar despre o funcție anume $ f$. | ||
| - | 9. Dacă $ f \le_P SAT$, atunci $ f \in NPC$ | + | 10. Dacă $ f \le_P SAT$, atunci $ f \in NPC$ |
| Din definiția (6) și exercițiul 1, reiese că $ f$ e în $ NP$; dar nu putem spune dacă e $ NPC$. | Din definiția (6) și exercițiul 1, reiese că $ f$ e în $ NP$; dar nu putem spune dacă e $ NPC$. | ||
| Line 79: | Line 79: | ||
| Observați că $ f$ nu e $ NPC$, nici dacă $ P = NP$. | Observați că $ f$ nu e $ NPC$, nici dacă $ P = NP$. | ||
| - | 10. Dacă $ SAT \le_P f$, atunci $ f \in NPC$ | + | 11. Dacă $ SAT \le_P f$, atunci $ f \in NPC$ |
| Din (6) și tranzitivitatea relației $ \le_P$ reiese că orice funcție din $ NP$ se reduce la $ f$. | Din (6) și tranzitivitatea relației $ \le_P$ reiese că orice funcție din $ NP$ se reduce la $ f$. | ||
| Dar asta înseamnă doar că $ f \in NPH$. Propoziția e falsă. | Dar asta înseamnă doar că $ f \in NPH$. Propoziția e falsă. | ||