Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:sol:7 [2025/11/16 18:33]
aureliu.antonie add subpunct 1
+++ aa:lab:sol:7 [2025/11/16 23:00] (current)
aureliu.antonie edit substitie 2
@@ Line 13: / Line 13: @@
   * $ T_c(n) = 2T_c(n/2) + \log(n)$
-** Metoda substitutiei TODO** \\
+** Metoda substitutiei** \\
 Vrem sa demonstram ca $ T_c(n) = \Theta(n), \ presupunem \ T_c(1) = 1$ \\
-$ <=> \exists k_1, k_2 > 0 $ a.i. $ k_1 n  \le T_c(n) \le k_2 n$\\
+$ <=> \exists c_1, c_2 > 0 $ a.i. $ c_1 n  \le T_c(n) \le c_2 n$\\
-Caz de baza: n = 2 \\
+$ Ca \ sa \ demonstram \ ca \ T_c(n) = \Theta(n), \ vom \ demonstra \ ca \ T_c(n) = O(n) \ (1) \ si \ T_c(n) = \Omega(n) \ (2)$\\
-$ c_1 * 2  \le T_c(2) \le c_2 * 2 $\\
+(2) Caz de baza: n = 16 \\
-$ c_1 * 2  \le 2 * T_c(1) + \log 2 \le c_2 * 2 $\\
+$ c_1 * 16  \le T_c(16)$\\
-$ c_1 * 2  \le 3 \le c_2 * 2 $\\
+$ c_1 * 16  \le 42 $ \\
-(A) pentru $ c_1 = 1 $ si $ c_2 = 2 $\\
+$ => c_1 \le \frac{21}{8} $\\
-Pasul inductiv: \\
+$ (2) \ Pas \ inductiv $\\
-Presupunem $ T_c(\frac n 2) = \Theta(\frac n 2) $ \\
+$ Presupunem \ ca \ T_c(n/2) = \Omega(n/2) $\\
-$ \exists c_1, c_2 > 0 $ a.i. \\
+$ <=> \ \exists c_1 > 0 \ a.i. \ c_1 * \frac{n}{2} \le T_c(n/2) $\\
-$ c_1 \frac n 2 \le T_c(\frac n 2) \le c_2 \frac n 2 \ \ \ \ | *2 $\\
+$ <=> c_1 * n \le 2 * T_c(n/2) $\\
-$ c_1 * n \le 2 * T_c(\frac n 2) \le c_2 * n \ \ \ \ | + \log n $\\
+$ <=> c_1 * n + \log n\le T_c(n) $\\
-$ c_1 * n + \log n \le T_c(n)\le c_2 * n + \log n $\\
+$ <=> c_1 * n \le c_1 * n + \log n\le T_c(n) $\\
-$ pentru\ k_1 = c_1 => k1n \le c_1n + \log n $\\
+$ => \ T_c(n) = \Omega(n) $\\
-$ pentru\ k_2 = c_2 + 1 => c_2n + \log n \le k2 * n $\\
+$ (1) Pentru \ usurinta, \ vom \ demonstra \ restrictia \ T_c(n) \le c_2 n - 2 \log n $\\
-$ \qquad \qquad \qquad \qquad \: <=> c_2n + \log n \le (c_2 + 1) * n $\\
+(1) Caz de baza: n = 16 \\
-$ => k_1 * n \le c_1 * n + \log n \le T_c(n)\le c_2 * n + \log n \le k_2 * n $\\
+$ T_c(16) \le c_2 * 16 - 2 * \log 16 $\\
+$ 42 \le c_2 * 16 - 8 $ \\
+$ => c_2 \ge \frac{25}{8} $\\
+$ (1) \ Pas \ inductiv $\\
+$ Presupunem \ ca \ T_c(n/2) \le c_2 * \frac{n}{2} - 2 * \log \frac{n}{2} $\\
+$ <=> 2 * T_c(n/2) \le c_2 * n - 4 * \log \frac{n}{2} $\\
+$ <=> T_c(n) \le c_2 * n - 3 * \log n + 4$\\
+$ <=> T_c(n) \le c_2 * n - 3 * \log n + 4 \le c_2 * n - 2 * \log n, \forall n \ge 16 $\\
+$ => \ T_c(n) = O(n) $\\
 $ T_c(n) \in \Theta(n) $\\
 ** Teorema Master  ** \\