Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:sol:5 [2023/11/13 14:08]
maria.tudosie
+++ aa:lab:sol:5 [2025/11/01 11:55] (current)
codrut_eduard.bicu
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====Soluții Notații asimptotice====
+===== Soluții Laborator 5: Analiza probabilistă în Hashing =====
-<note>
-Cheetsheet: constanta << logaritmica << polinomiala << exponentiala << factoriala
-</note>
-. Dați exemple de câte o funcție din următoarele clase de complexitate:
+Această pagină conține explicații și răspunsuri pentru întrebările din laboratorul 5.
-$ O(n)$
+----
-<note>
-Trebuie sa gasim functii care cresc maxim la fel de repede ca f(n)=n.
-Exemple soluții posibile: g(n)=n+6, g(n)=8n+7 (aceeasi crestere),
-g(n)=log(n) (crestere mai mica)
-</note>
-$Ω(log(n))$
-<note>
-Trebuie sa gasim functii care cresc mai repede sau la fel de repede ca f(n)=n^2.
-Exemple soluții posibile: g(n)=100*log(n)+5, (aceeasi crestere), g(n)=n^3,
-g(n)=nlog(n) (mai repede)
-</note>
-$θ(n^2)$
-<note>
-Trebuie sa gasim functii care cresc la fel de repede ca f(n)=log(n).
-Exemple soluții posibile: g(n)=a*n^2+b*n+c*log(n)+d, a>0 (aceeasi crestere ca n^2, fiind dominant in functie)
-</note>
-$ɷ(1/n)$
+==== Exemplul 1: Paradoxul zilelor de naștere ====
-<note>
-Trebuie sa gasim functii care cresc strict mai repede decat f(n)=1/n.
-Cum 1/n este o functie descrescatoare, solutia este orice functie crescatoare.
-Exemple soluții posibile: g(n)=c, c = constanta, g(n)=n+23, g(n)=nlogn+n^4 etc.
-</note>
-$ o(3^n)$
+**Întrebare 1:**
-<note>
+Pentru ce valoare a lui n probabilitatea ca două persoane să aibă aceeași zi de naștere depășește 0.5?
-Trebuie sa gasim functii care cresc strict mai incet decat f(n)=3^n.
-Exemple soluții posibile: g(n)=n^p,p>=0  etc.
-</note>
-. Pentru fiecare din perechile de mai jos, dați un exemplu concret de constante pentru care inegalitățile implicate în definiția clasei de complexitate sunt adevărate:
+**Răspuns:**
+Probabilitatea depășește 0.5 în jurul lui n = 23.
+Acest rezultat este contraintuitiv — chiar și într-un grup mic, șansele de coliziune sunt mari.
-$ log(n)∈o(√n)$
+**Explicație:**
-<note>
+Probabilitatea ca toate zilele să fie distincte este:
-f(n)=√n, g(n)=log(n). g(n)∈o(f(n))=> ∀c>0, ∃n_0∈N, astfel incat ∀ n≥n_0, g(n)≤ c·f(n)
-=> log(n)≤c·√n, adevarat pentru c=1 si n_0=100.
-</note>
-$ 100·n^2∈O(2^n)$
+$$
-<note>
+P(\text{distincte}) = \frac{k!}{(k-n)! k^n}
-f(n)=2^n, g(n)=100·n^2. g(n)∈O(f(n))=> ∃c>0, ∃n_0∈N, astfel incat ∀ n≥n_0, g(n)≤ c·f(n)
+$$
-=> 100·n^2≤c·2^n, adevarat pentru c=100 si n_0=4.
-</note>
-$ 0,001·n^3∈Ω(20√n)$
+Pentru $k = 365$, dacă evaluăm numeric:
-<note>
+  * n = 20$ → P(\text{coliziune}) \approx 0.41$
-f(n)=20√n, g(n)=0,001·n^3. g(n)∈Ω(f(n))=> ∃c>0, ∃n_0∈N, astfel incat ∀ n≥n_0, c·g(n)≤ f(n)
+  * n = 23$ → P(\text{coliziune}) \approx 0.507$
-=> 0,001·n^3≤20√n, adevarat pentru c=0.001/20 si n_0=1.
+  * n = 30$ → P(\text{coliziune}) \approx 0.706$
-</note>
-$ 10·n∈θ(n)$
+**Legătură cu hashing:**
-<note>
+Fiecare zi ≈ un slot hash, iar fiecare persoană ≈ un element inserat.
-f(n)=n, g(n)=10·n. g(n)∈θ(f(n))=> ∃c_1, c_2>0, ∃n_0∈N, astfel incat ∀ n≥n_0, c_1·g(n)≤ f(n) ≤ c_2·g(n)
+La fel ca în hashing, chiar și cu multe sloturi disponibile, coliziunile devin probabile după doar sqrt(k) inserări (ordine (O(sqrt(k))).
-=> c_1·n≤ 10n ≤c_2 n, adevarat pentru c_1=8, c_2=10 si n_0=1.
-</note>
-$ n∈θ(10n)$
-<note>
-f(n)=10·n, g(n)=n. g(n)∈θ(f(n))=> ∃c_1, c_2>0, ∃n_0∈N, astfel incat ∀ n≥n_0, c_1·g(n)≤ f(n) ≤ c_2·g(n)
-=> c_1·10·n≤ n ≤c_2·10·n, adevarat pentru c_1=1/10, c_2=1 si n_0=1.
-</note>
-. Verificați valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
-$ √n∈O(logn)$
+----
-<note>
-f(n)=logn, g(n)=√n. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(√n/log(n))=(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(n/2*√n)=1/2*lim(n→∞)⁡(√n)=+∞ => **Fals**
+**Întrebare 2:**
-</note>
+Cum se aseamănă acest fenomen cu coliziunile într-o tabelă hash?
-$ logn∈O(log(log n))$
+**Răspuns:**
-<note>
+În ambele cazuri, avem o **alocare aleatoare** într-un spațiu finit de valori.
-f(n)=log(logn), g(n)=logn. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
+Coliziunile apar mult mai devreme decât ne-am aștepta, iar acest lucru afectează eficiența căutărilor.
-lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(logn/log(log n))=(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(1/n / 1/logn * 1/n)=1/2*lim(n→∞)⁡(logn)=+∞ => **Fals**
+**Explicație scurtă:**
-</note>
+Dacă spațiul are dimensiune k, atunci după doar sqrt(k) inserări, probabilitatea unei coliziuni devine semnificativă (≈50%).
+Asta înseamnă că pentru o tabelă hash cu 10^6 sloturi, e foarte probabil să apară coliziuni deja după câteva mii de inserări.
-$ n∈O(√n logn)$
+----
-<note>
-f(n)=√n logn, g(n)=n. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(n/√n logn)=lim(n→∞)⁡(√n/logn)=(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(1/2 * 1/n^2 / 1/n)=1/2*lim(n→∞)⁡(1/n)=0 => **Fals**
+==== Exemplul 2: Problema colecționarului de cupoane ====
-</note>
-$ n+logn∈θ(n)$
+**Întrebare 1:**
-<note>
+Cum crește numărul așteptat de extrageri odată cu n?
-f(n)=n, g(n)=n + logn. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(n + logn/logn)=1 + lim(n→∞)⁡(n/logn)=(l'Hospital)1 + lim(n→∞)⁡(n)= ∞ => **Fals**
+**Răspuns:**
-</note>
+Numărul mediu de extrageri crește aproximativ proporțional cu n(ln n).
-$ log(nlogn)∈θ(logn)$
+**Explicație:**
-<note>
-f(n)=logn, g(n)=log(nlogn). Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))==(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(1/nlogn*(logn+1)  /  1/n)= ∞ => **Fals**
+$$
-</note>
+E[T] = n H_n = n (1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{n}) \approx n (\ln n + \gamma)
+$$
+unde $\gamma \approx 0.577$ este constanta lui Euler–Mascheroni.
+De exemplu:
+| n  | E[T] teoretic | E[T] simulat |
+|----|---------------|--------------|
+| 10 | 29.3          | ≈ 29         |
+| 50 | 224.5         | ≈ 225        |
+| 100| 518.7         | ≈ 520        |
+Astfel, timpul așteptat crește mai repede decât liniar, dar mult mai lent decât pătratic.
+----
+**Întrebare 2:**
+Ce analogie există între această problemă și procesul de „umplere” a unei tabele hash?
+**Răspuns:**
+Problema colecționarului de cupoane este echivalentă cu procesul de inserare în hash până când **toate sloturile sunt ocupate**.
+Fiecare „cupon” reprezintă un slot distinct, iar fiecare extragere corespunde unei inserări.
+**Explicație:**
+La început, găsim ușor sloturi libere (șanse mari de succes).
+Pe măsură ce tabela se umple, șansele de a găsi un slot nou scad — apar tot mai multe „coliziuni”.
+În medie, este nevoie de aproximativ n(ln n) inserări pentru a umple toate sloturile.
+----
+==== Concluzie generală ====
+  * **Coliziunile** apar mai devreme decât ne-am aștepta ≈ sqrt(k) inserări).
+  * **Umplerea completă** a unei tabele hash necesită în jur de n ln n inserări.
+  * Aceste două fenomene definesc limitele probabilistice ale hashing-ului eficient.
+----