Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
aa:lab:sol:4 [2025/10/27 22:54]
rares_stefan.balcan 		aa:lab:sol:4 [2025/10/27 23:23] (current)
rares_stefan.balcan
Line 343: Line 343:
 Pentru \((i + 1) \bmod \mathsf{size}(\mathsf{Push}(e,​ \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))))\), știind că \(\mathsf{size}(\mathsf{move}(r)) = \mathsf{size}(r)\) (din exercițiul 2), avem: Pentru \((i + 1) \bmod \mathsf{size}(\mathsf{Push}(e,​ \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))))\), știind că \(\mathsf{size}(\mathsf{move}(r)) = \mathsf{size}(r)\) (din exercițiul 2), avem:
 \[ \[
-\mathsf{size}(\mathsf{Push}(e,​ \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r))))) = 1 + \mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))) = 1 + (2 + \mathsf{size}(r))+\mathsf{size}(\mathsf{Push}(e,​ \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r))))) = 1 + \mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))) = 3 + \mathsf{size}(r)
 \] \]
  
-Distingem din nou după paritatea lui \(i\):+Notăm \(n = 3 + \mathsf{size}(r)\).
  
-  - Dacă \((i + 1) \bmod (3 + \mathsf{size}(r)) ​= 0\), atunci \(\mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r))))) = e\). +Dacă \((i + 1) \bmod n = 0\), atunci: 
-  - În caz contrar, folosim \(\text{ELM2}\) și reducem la \(\mathsf{elm}((i + 1 - 1) \bmod (\mathsf{size}(r) + 2), \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f,​ r))))\).+\[ 
 +\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(...)) = \mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(e, ...)) = e 
 +\]
  
-Calculul complet al acestui caz devine extrem de tehnic, dar principiul este același ca mai sus: folosim ipotezele ​de inducție ​și proprietățile modulo pentru a arăta că ambele părți sunt egale.+\[ 
 +\begin{aligned} 
 +\mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(e,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))) 
 +&​\overset{(\text{ELEM})}{=} 
 +\mathsf{elm}((i + 2) \bmod n, \mathsf{Push}(x,​ ...)) \\ 
 +&​\overset{(\text{ELM2})}{=} 
 +\mathsf{elm}((i + 1) \bmod (n-1), \mathsf{Push}(e,​ \mathsf{Push}(f,​ r))) \\ 
 +&= \mathsf{elm}(0,​ \mathsf{Push}(e,​ ...)) = e 
 +\end{aligned} 
 +\] 
 + 
 +Dacă \((i+1) \bmod n \neq 0\), folosim axioma ELM2 și reducem problema: 
 +\[ 
 +\begin{aligned} 
 +\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(...)) 
 +&= \mathsf{elm}((i+1) \bmod n, \mathsf{Push}(e,​ \mathsf{move}(...))) \\ 
 +&​\overset{(\text{ELM2})}{=} 
 +\mathsf{elm}(i \bmod (n-1), \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))) \\ 
 +&= \mathsf{element}(i,​ \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))) 
 +\end{aligned} 
 +\] 
 + 
 +Prin ipoteza ​de inducție ​pe \(i\): 
 +\[ 
 +\mathsf{element}(i,​ \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r))))) = \mathsf{element}(i+1,​ \mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(f,​ r))) 
 +\] 
 + 
 +Partea dreaptă: 
 +\[ 
 +\mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(x,​ \mathsf{Push}(e,​ \mathsf{Push}(f,​ r)))))  
 +\overset{(\text{ELM2})}{=} 
 +\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{Push}(e,​ \mathsf{Push}(f,​ r))) 
 +\] 
 + 
 +Prin ipoteza de inducție structurală: 
 +\[ 
 +\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e,​ \mathsf{Push}(f, ​r))))) = \mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(e,​ \mathsf{Push}(f,​ r))) 
 +\]
  
-**Prin urmare, prin inducție matematică pe \(i\), avem că proprietatea este adevărată pentru toate valorile \(i \in \mathbb{N}\).**+obținem că ambele părți sunt egale.
  
 +**Prin urmare, prin inducție matematică pe \(i\) și inducție structurală pe \(r\), avem că proprietatea este adevărată pentru toate valorile \(i \in \mathbb{N}\).**