Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:sol:4 [2025/10/27 20:10]
dmihai )
+++ aa:lab:sol:4 [2025/10/27 23:23] (current)
rares_stefan.balcan
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Soluții inducție structurală ======
+====== Soluții Laboratorul 4 ======
-.
+===== Enunțuri =====
-** Cazul de bază **
+Demonstrați următoarele proprietăți folosind inducție structurală:
-<code>
+  - **1.** ∀l∈List.reverse(reverse(l))=l
-reverse(reverse(Void)) =(REV1) reverse(Void) =(REV1) Void
+  - **2.** ∀r∈Ring,size(move(r))=size(r)
-</code>
+  - **3.** ∀i∈N,∀r∈Ring,element(i,move(r))=element(i+1,r)
-**Pas de inducție**
+===== Soluții =====
-Presupunem:
+==== 1. ∀l∈List.reverse(reverse(l))=l ====
-<code>
+**Cazul de bază:**
-reverse(reverse(l)) = l
-</code>
-Arătăm:
+\[
+\mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(\mathsf{Void}))
+\overset{(\text{REV1})}{=}
+\mathsf{reverse}(\mathsf{Void})
+\overset{(\text{REV1})}{=}
+\mathsf{Void}
+\]
-<code>
+**Pas de inducție:**
-reverse(reverse(Cons(x, l)) =( Cons(x, l)
-</code>
-<code>
+Presupunem:
-reverse(reverse(Cons(x, l)) =(REV2) reverse(append(reverse(l), Cons(x, Void)) =(L1) append(reverse(Cons(x, Void)), reverse(reverse(l))) =(II) append(reverse(Cons(x, Void)), l) =(REV2) append(Cons(x, reverse(Void)), l) =(REV1) append(Cons(x, Void), l) =(APP2) Cons(x, append(Void, l)) =(APP1) Cons(x, l)
+\[
-</code>
+\mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(l)) = l
+\]
-Unde ''L1'' este lemma: $ \forall l1, l2 \in List, reverse(append(l1, l2)) = append(reverse(l2), reverse(l1))$, care necesită o demonstrație separată, tot prin inducție structurală după ''l1''.
+Arătăm:
+\[
+\mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, l))) = \mathsf{Cons}(x, l)
+\]
-**Caz de bază**:
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, l)))
+&\overset{(\text{REV2})}{=}
+\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l), \mathsf{Cons}(x, \mathsf{Void}))) \\
+&\overset{(\text{L1})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, \mathsf{Void})), \mathsf{reverse}(\mathsf{reverse}(l))) \\
+&\overset{(\text{II})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, \mathsf{Void})), l) \\
+&\overset{(\text{REV2})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{Cons}(x, \mathsf{reverse}(\mathsf{Void})), l) \\
+&\overset{(\text{REV1})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{Cons}(x, \mathsf{Void}), l) \\
+&\overset{(\text{APP2})}{=}
+\mathsf{Cons}(x, \mathsf{append}(\mathsf{Void}, l)) \\
+&\overset{(\text{APP1})}{=}
+\mathsf{Cons}(x, l)
+\end{aligned}
+\]
-<code>
+Unde **L1** este lema:
-reverse(append(Void, l2)) =(APP1) = reverse(l2) =(L3) reverse(append(l2, Void))
+\[
-</code>
+\forall l_1, l_2 \in \mathsf{List},\
+\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(l_1, l_2)) = \mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l_2), \mathsf{reverse}(l_1))
+\]
-(''L3'' este propoziția $ \forall l \in List, append(l, Void) = l$, cu o demonstrație ușoară, omisă aici; vă recomandăm să explicitați voi demonstrația, prin inducție structurală după $ l$).
+care necesită o demonstrație separată, tot prin inducție structurală după \(l_1\).
-**Pas de inducție**:
+=== Demonstrația lemei L1 ===
-Presupunem:
+**Caz de bază:**
-<code>
+\[
-reverse(append(l, l2)) = append(reverse(l2), reverse(l))
+\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(\mathsf{Void}, l_2))
-</code>
+\overset{(\text{APP1})}{=}
+\mathsf{reverse}(l_2)
+\overset{(\text{L3})}{=}
+\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(l_2, \mathsf{Void}))
+\]
-Arătăm:
+unde **L3** este propoziția:
+\[
+\forall l \in \mathsf{List},\ \mathsf{append}(l, \mathsf{Void}) = l
+\]
-<code>
+cu o demonstrație ușoară (omisă aici), ce se poate face prin inducție structurală după \(l\).
-reverse(append(Cons(x, l), l2)) = append(reverse(l2), reverse(Cons(x, l)))
-</code>
-<code>
+**Pas de inducție:**
-reverse(append(Cons(x, l), l2)) =(APP2) reverse(Cons(x, append(l, l2)) =(REV2) append(reverse(append(l, l2)), Cons(x, Void))) =(II) append(append(reverse(l2), reverse(l)), Cons(x, Void)) =(Asocativitate append) append(reverse(l2), append(reverse(l), Cons(x, Void)) =(REV2) append(reverse(l2), reverse(Cons(x, l)))
-</code>
-<note>
+Presupunem:
-Asociativitatea operației ''append'' (i.e. $ \forall l1, l2, l3, append(append(l1, l2), l3) = append(l1, append(l2, l3))$) este tot o teoremă care trebuie demonstrată prin inducție structurală; deși laborioasă, este în esență simplă. Vă recomandăm să o redactați explicit.
+\[
-</note>
+\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(l, l_2))
+=
+\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l_2), \mathsf{reverse}(l))
+\]
+Arătăm:
+\[
+\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(\mathsf{Cons}(x, l), l_2))
+=
+\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l_2), \mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, l)))
+\]
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(\mathsf{Cons}(x, l), l_2))
+&\overset{(\text{APP2})}{=}
+\mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, \mathsf{append}(l, l_2))) \\
+&\overset{(\text{REV2})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(\mathsf{append}(l, l_2)), \mathsf{Cons}(x, \mathsf{Void})) \\
+&\overset{(\text{II})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l_2), \mathsf{reverse}(l)), \mathsf{Cons}(x, \mathsf{Void})) \\
+&\overset{(\text{Asoc.})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l_2), \mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l), \mathsf{Cons}(x, \mathsf{Void}))) \\
+&\overset{(\text{REV2})}{=}
+\mathsf{append}(\mathsf{reverse}(l_2), \mathsf{reverse}(\mathsf{Cons}(x, l)))
+\end{aligned}
+\]
+<note important>
+**Asociativitatea** operației \(\mathsf{append}\) (i.e. \(\forall l_1, l_2, l_3,\ \mathsf{append}(\mathsf{append}(l_1, l_2), l_3) = \mathsf{append}(l_1, \mathsf{append}(l_2, l_3))\)) este tot o teoremă care trebuie demonstrată prin inducție structurală. Deși laborioasă, ea este esențial simplă. Vă recomandăm să o redactați explicit.
+</note>
 <note>
-**Notă*: Într-un sens computațional, axiomele noastre reprezintă *reguli de derivare* care ne spun că putem înlocui expresia din stânga cu cea din dreapta. Astfel, un simbol simetric ca ''='' nu pare foarte potrivit, iar expresii de forma ''1 + size(l) =(SZ2) size(Cons(e, l))'' sunt abuzuri de notație, deoarece folosim derivarea "în sens invers".
+**Notă:** Într-un sens computațional, axiomele noastre reprezintă //reguli de derivare// care ne spun că putem înlocui expresia din stânga cu cea din dreapta. Astfel, un simbol simetric ca „=" nu este perfect potrivit, iar expresii precum \(1 + \mathsf{size}(l) \overset{(\text{SZ2})}{=} \mathsf{size}(\mathsf{Cons}(e, l))\) sunt abuzuri de notație, deoarece folosim derivarea „în sens invers".
-Totuși, chiar și cu această interpretare, în afară de abuzul notațional, demonstrațiile noastre sunt corecte și riguroase: putem să le rescriem pentru a arăta separat că, din egalitatea ce trebuie demonstrată, și partea stângă și partea dreapta, pot fi derivate separat în aceași expresie.
+Totuși, chiar și cu acest abuz, demonstrațiile rămân corecte și riguroase: putem rescrie separat pentru a arăta că ambele părți ale egalității se pot deriva în aceeași expresie.
 </note>
+==== 2. ∀r∈Ring,size(move(r))=size(r) ====
-.
+**Cazuri de bază:**
-**Cazuri de bază**:
+\[
+\mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Empty}))
+\overset{(\text{MOV1})}{=}
+\mathsf{size}(\mathsf{Empty})
+\]
-<code>
+\[
-size(move(Empty)) =(MOV1) size(Empty)
+\forall x,\
+\mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Empty})))
+=
+\mathsf{size}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Empty}))
+\]
-∀x, size(move(Push(x, Empty)) = size(Push(x, Empty))
+Rezultă direct din axioma \(\text{MOV2}\).
-Rezultă direct din axioma MOV2.
+<note>
-</code>
+Considerând și \(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Empty})\) un caz de bază, putem ca în demonstrația următoare să folosim doar forma generală \(\mathsf{Push}(e, r)\) ca ipoteză de inducție.
+</note>
-<notes>
+**Pas de inducție:**
-Considerând și ''Push(x, Empty)'' un caz de bază ne permite ca în demonstrația următoare să folosim doar ''Push(e, r)'' ca inel.
-</code>
-**Pas de inducție**:
 Presupunem:
+\[
+\forall e,\
+\mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, r)))
+=
+\mathsf{size}(\mathsf{Push}(e, r))
+\]
-<code>
-∀e, size(move(Push(e, r))) = size(Push(e, r))
-</code>
 Arătăm:
+\[
+\forall x,\forall e,\
+\mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, r))))
+=
+\mathsf{size}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, r)))
+\]
-<code>
+\[
-∀x, ∀e, size(move(Push(x, Push(e, r))))) = size(Push(x, Push(e, r)))
+\begin{aligned}
-</code>
+\mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, r))))
+&\overset{(\text{MOV3})}{=}
+\mathsf{size}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, r)))) \\
+&\overset{(\text{SZ2})}{=}
++ \mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, r))) \\
+&\overset{(\text{II})}{=}
++ \mathsf{size}(\mathsf{Push}(x, r)) \\
+&\overset{(\text{SZ2})}{=}
++ \mathsf{size}(r) \\
+&\overset{(\text{SZ2})}{=}
++ \mathsf{size}(\mathsf{Push}(e, r)) \\
+&\overset{(\text{SZ2})}{=}
+\mathsf{size}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, r)))
+\end{aligned}
+\]
+==== 3. ∀i∈N,∀r∈Ring,element(i,move(r))=element(i+1,r) ====
-<code>
+\[
-size(move(Push(x, Push(e, r)))) =(MOV3) size(Push(e, move(Push(x, r)))) =(SZ2) 1 + size(move(Push(x, r))) =(II) 1 + size(Push(x, r)) =(SZ2) 2 + size(r) =(SZ2) 1 + size(Push(e, r)) = size(Push(x, Push(e, r))
+\forall r,\forall i.\
-</code>
+\mathsf{size}(r) \ge 2
+\Rightarrow
+\mathsf{element}(i, \mathsf{move}(r))
+=
+\mathsf{element}(i+1, r)
+\]
-.
+Vom face o demonstrație prin **inducție matematică** după \(i\).
-∀r.∀i. size(r) >= 2 => element(i,move(r)) = element(i+1,r)
+=== Cazul de bază (i = 0) ===
-Vom face o demonstrație prin inducție matematică după ''i'':
+Luăm \(i = 0\) și vrem să arătăm:
+\[
+\mathsf{element}(0, \mathsf{move}(r)) = \mathsf{element}(1, r)
+\]
-Pentru **cazul de bază**, luăm ''i = 0'' și vrem să arătăm că:
+Aceasta trebuie să fie adevărată pentru orice inel \(r\) cu \(\mathsf{size}(r) \ge 2\).
+Pentru a o demonstra, facem **inducție structurală** după \(r\).
-<code>
+**Caz de bază:**
-element(0, move(r)) = element(1, r)
-</code>
-Acesta trebuie să fie adevărat pentru orice inel ''r'' cu ''size(r) >= 2''; pentru a demonstra propoziția, vom face inducție structurală după ''r'':
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{element}(0, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty}))))
+&\overset{(\text{MOV3})}{=}
+\mathsf{element}(0, \mathsf{Push}(f, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty})))) \\
+&\overset{(\text{MOV2})}{=}
+\mathsf{element}(0, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty}))) \\
+&\overset{(\text{ELEM})}{=}
+\mathsf{elm}(0 \bmod 2, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty}))) \\
+&\overset{(\text{ELM1})}{=} f
+\end{aligned}
+\]
-**Caz de bază**:
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{element}(1, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty})))
+&\overset{(\text{ELEM})}{=}
+\mathsf{elm}(1 \bmod 2, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty}))) \\
+&\overset{(\text{ELM2})}{=}
+\mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty})) \\
+&\overset{(\text{ELM1})}{=} f
+\end{aligned}
+\]
-<code>
+**Pas de inducție:**
-element(0, move(Push(e, Push(f, Empty)))) =(MOV2) element(0, Push(f, move(Push(e, Empty))) =(MOV1) = element(0, Push(f, Push(e, Empty))) =(ELEM) elm(0 `mod` 2, Push(f, Push(e, Empty))) = elm(0, Push(f, Push(e, Empty))) =(ELM1) f
-element(1, Push(e, Push(f, Empty))) =(ELEM) elm(1 `mod` 2, Push(e, Push(f, Empty))) = elm(1, Push(e, Push(f, Empty))) =(ELM2) elm(0, Push(f, Empty)) =(ELM1) f
+Presupunem:
-</code>
+\[
+\mathsf{element}(0, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))))
+=
+\mathsf{element}(1, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))
+\]
-**Pas de inducție**:
+Arătăm:
+\[
+\mathsf{element}(0, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))))
+=
+\mathsf{element}(1, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))))
+\]
-Presupunem:
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{element}(0, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))))
+&\overset{(\text{MOV3})}{=}
+\mathsf{element}(0, \mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))) \\
+&\overset{(\text{ELEM})}{=}
+\mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))) \\
+&\overset{(\text{ELM1})}{=} e
+\end{aligned}
+\]
-<code>
+\[
-element(0, move(Push(e, Push(f, r)))) = element(1, Push(e, Push(f, Empty)))
+\begin{aligned}
-</code>
+\mathsf{element}(1, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))))
+&\overset{(\text{ELEM})}{=}
+\mathsf{elm}(1, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))) \\
+&\overset{(\text{ELM2})}{=}
+\mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))) \\
+&\overset{(\text{ELM1})}{=} e
+\end{aligned}
+\]
-Arătăm:
+Astfel se încheie demonstrația prin inducție structurală — deci cazul de bază al demonstrației principale (\(i = 0\)) este rezolvat.
-<code>
+=== Pas de inducție (pe i) ===
-element(0, move(Push(x, Push(e, Push(f, r))))) = element(1, Push(x, Push(e, Push(f, Empty))))
-</code>
+Presupunem:
+\[
+\mathsf{element}(i, \mathsf{move}(r)) = \mathsf{element}(i + 1, r)
+\]
-<code>
+Arătăm:
-element(0, move(Push(x, Push(e, Push(f, r))))) =(MOV3) element(0, Push(e, move(Push(x, Push(f, r))))) =(ELEM + propr. de bază ale `mod`) elm(0, Push(e, move(Push(x, Push(f, r))))) =(ELM1) top(Push(e, move(Push(x, Push(f, r)))) =(TOP) e
+\[
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(r)) = \mathsf{element}(i + 2, r)
+\]
-element(1, Push(x, Push(e, Push(f, Empty)))) =(ELEM + popr. `mod`) elm(1, Push(x, Push(e, Push(f, Empty))))) =(ELM2) elm(0, Push(e, Push(f, Empty)))) =(ELM1) e
+Vom face din nou o **inducție structurală** după \(r\).
-</code>
-Asta completează demonstrația prin inducție structurală, deci cazul de bază al demonstrației principale (''i = 0'').
+**Caz de bază:**
-**Pas de inducție**:
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty}))))
+&\overset{(\text{MOV3})}{=}
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{Push}(f, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty})))) \\
+&\overset{(\text{MOV2})}{=}
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty}))) \\
+&\overset{(\text{ELEM})}{=}
+\mathsf{elm}((i + 1) \bmod 2, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty})))
+\end{aligned}
+\]
-Presupunem:
+  * Dacă \(i\) este impar, atunci \((i + 1) \bmod 2 = 0\): \[\mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty}))) \overset{(\text{ELM1})}{=} f\]
+iar în partea dreaptă: \[\begin{aligned} \mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty}))) &\overset{(\text{ELEM})}{=} \mathsf{elm}((i + 2) \bmod 2, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty}))) \\ &\text{(deoarece } i \text{ impar } \Rightarrow i+2 \text{ impar } \Rightarrow (i+2) \bmod 2 = 1) \\ &\overset{(\text{ELM2})}{=} \mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty})) \\ &\overset{(\text{ELM1})}{=} f \end{aligned}\]
-<code>
+  * Dacă \(i\) este par, atunci \((i + 1) \bmod 2 = 1\): \[\mathsf{elm}(1, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty}))) \overset{(\text{ELM2})}{=} \mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Empty})) \overset{(\text{ELM1})}{=} e\]
-element(i, move(r)) = element(i + 1, r)
+iar în partea dreaptă: \[\begin{aligned} \mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty}))) &\overset{(\text{ELEM})}{=} \mathsf{elm}((i + 2) \bmod 2, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, \mathsf{Empty}))) \\ &\text{(deoarece } i \text{ par } \Rightarrow i+2 \text{ par } \Rightarrow (i+2) \bmod 2 = 0) \\ &\overset{(\text{ELM1})}{=} e \end{aligned}\]
-echivalent cu:
+**Pas de inducție:**
-elm(i `mod` size(move(r)), move(r)) = elm((i + 1) `mod` size(r), r)
+Presupunem:
-</code>
+\[
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))))
+=
+\mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))
+\]
 Arătăm:
+\[
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))))
+=
+\mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))))
+\]
-<code>
+Din ipoteza de inducție \(\mathsf{element}(i, \mathsf{move}(r)) = \mathsf{element}(i + 1, r)\), aplicată pentru \(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))\), obținem:
-element(i + 1, move(r)) = element(i + 2, r)
+\[
+\mathsf{element}(i, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))
+=
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r)))
+\]
-echivalent cu:
+Calculul complet pentru partea stângă:
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))))
+&\overset{(\text{MOV3})}{=}
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))) \\
+&\overset{(\text{ELEM})}{=}
+\mathsf{elm}((i + 1) \bmod \mathsf{size}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))), \\
+&\quad\quad\mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r)))))
+\end{aligned}
+\]
-elm((i + 1) `mod` size(move(r)), move(r)) = elm((i + 2) `mod` size(r), r)
+Pentru \((i + 1) \bmod \mathsf{size}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r)))))\), știind că \(\mathsf{size}(\mathsf{move}(r)) = \mathsf{size}(r)\) (din exercițiul 2), avem:
-</code>
+\[
+\mathsf{size}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))) = 1 + \mathsf{size}(\mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r)))) = 3 + \mathsf{size}(r)
+\]
-Din nou, vom face o demonstrație prin inducție structurală după ''r''.
+Notăm \(n = 3 + \mathsf{size}(r)\).
-**Caz de bază**:
+Dacă \((i + 1) \bmod n = 0\), atunci:
+\[
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(...)) = \mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(e, ...)) = e
+\]
-<code>
+\[
-element(i + 1, move(Push(e, Push(f, Empty)))) =(ELEM) elm((i + 1) `mod` size(move(Push(e, Push(f, Empty)))), move(Push(e, Push(f, Empty)))) =(2 aplicări de SIZE2, una de SIZE1 și aritmetică) elm((i + 1) `mod` 2, move(Push(e, Push(f, Empty)))) =(MOV3) elm((i + 1) `mod` 2, Push(f, move(Push(e, Empty))))
+\begin{aligned}
+\mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))))
+&\overset{(\text{ELEM})}{=}
+\mathsf{elm}((i + 2) \bmod n, \mathsf{Push}(x, ...)) \\
+&\overset{(\text{ELM2})}{=}
+\mathsf{elm}((i + 1) \bmod (n-1), \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))) \\
+&= \mathsf{elm}(0, \mathsf{Push}(e, ...)) = e
+\end{aligned}
+\]
-Dacă i e impar:
+Dacă \((i+1) \bmod n \neq 0\), folosim axioma ELM2 și reducem problema:
-elm(0,  Push(f, move(Push(e, Empty)))) =(ELM1) f
+\[
+\begin{aligned}
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(...))
+&= \mathsf{elm}((i+1) \bmod n, \mathsf{Push}(e, \mathsf{move}(...))) \\
+&\overset{(\text{ELM2})}{=}
+\mathsf{elm}(i \bmod (n-1), \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r)))) \\
+&= \mathsf{element}(i, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))
+\end{aligned}
+\]
-iar în partea dreaptă avem:
+Prin ipoteza de inducție pe \(i\):
-element(i + 2, Push(e, Push(f, r))) =(ELEM) elm((i + 2) `mod` 2, Push(e, Push(f, r))) =(i impar, deci i+2 impar) elm(1, Push(e, Push(f, r))) =(ELM2) elm(0, Push(f, r)) =(ELM1) f
+\[
+\mathsf{element}(i, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r))))) = \mathsf{element}(i+1, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(f, r)))
+\]
------------------
+Partea dreaptă:
+\[
+\mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(x, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))))
+\overset{(\text{ELM2})}{=}
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))
+\]
-Dacă i e par: elm(1,  Push(f, move(Push(e, Empty)))) =(ELM2) elm(0, move(Push(e, Empty))) =(MOV2) elm(0, Push(e, Empty)) =(ELM1) e
+Prin ipoteza de inducție structurală:
+\[
+\mathsf{element}(i + 1, \mathsf{move}(\mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r))))) = \mathsf{element}(i + 2, \mathsf{Push}(e, \mathsf{Push}(f, r)))
+\]
-iar în partea dreaptă avem:
+obținem că ambele părți sunt egale.
-element(i + 2, Push(e, Push(f, r))) =(ELEM) elm((i + 2) `mod` 2, Push(e, Push(f, r))) =(i par, deci i+2 par) elm(0, Push(e, Push(f, r))) =(ELM1) e
-</code>
+**Prin urmare, prin inducție matematică pe \(i\) și inducție structurală pe \(r\), avem că proprietatea este adevărată pentru toate valorile \(i \in \mathbb{N}\).**