Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
|
aa:lab:sol:3 [2023/10/27 11:36] ioana.dabelea |
aa:lab:sol:3 [2023/10/31 18:51] (current) alexandra.udrescu01 [Exercițiul 2] |
||
|---|---|---|---|
| Line 16: | Line 16: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{vom returna x == 111} \Rightarrow \text{când x este 111}, M^* \text{va tranziţiona în Y} => M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $\Rightarrow $ vom returna x == 111 $\Rightarrow $ când x este 111, $ M^* $ va tranziţiona în Y $\Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow $ am ajuns la return $\Rightarrow $ run M[w] nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $\Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$. | ||
| Line 36: | Line 36: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa verificăm dacă x este palindrom} \Rightarrow \text{când x este palindrom}, M^* \text{va tranziţiona în Y} \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $\Rightarrow $ o sa verificăm dacă x este palindrom $\Rightarrow $ când x este palindrom, $ M^* $ va tranziţiona în Y $ \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{p}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{decide daca x este palindrom } \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{p} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ decide daca x este palindrom $ \forall x \Rightarrow $ am ajuns la return $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$. | ||
| Line 55: | Line 55: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return} \Rightarrow f_{rev}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return $ \Rightarrow f_{rev} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{rev}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{calculeaza rev(x) } \forall x \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{rev} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ calculeaza rev(x) $ \forall x \forall x \Rightarrow $ am ajuns la return $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$. | ||
| Line 76: | Line 76: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow f_{own}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow M^*[enc(M^*)] $ se termina $ \Rightarrow f_{own} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{own}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{own} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] $ se termina $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$. | ||
| Line 99: | Line 99: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{ se termină in n paşi} \Rightarrow M^*[w] \text{se opreşte } \forall x \text{, |x| < n}, \text{ciclează } \forall x \text{, |x| >= n} \Rightarrow f_{finite}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină in n paşi $ \Rightarrow M^*[w] $ se opreşte $ \forall x $ , |x| < n $ , $ ciclează $ \forall x $ , |x| >= n $ \Rightarrow f_{finite} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{finite}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ se opreşte după un număr finit de cuvinte }\Rightarrow \text{M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{finite} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ se opreşte după un număr finit de cuvinte $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$. | ||
| Line 121: | Line 121: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{se poate opri doar pentru x = 101} \Rightarrow f_{set}(A, M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ cum $ M^* $ se poate opri doar pentru x = 101 $ \Rightarrow \forall w f_{set} (A, M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{set}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{o să se oprească pentru orice x din A} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{set} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ o să se oprească pentru orice x din A $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$. | ||
| Line 140: | Line 141: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{printează x la final} \Rightarrow f_{x}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ cum $ M^* $ printează x la final $ \Rightarrow f_{x} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{x}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ajunge să printeze x pe bandă} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{x} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ ajunge să printeze x pe bandă $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$. | ||
| Line 164: | Line 166: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x, iar } M_{1}[x] \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} [x] $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE$ |
| - | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow \text{stim din construcţie că} M_{1} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M[w] \text{se opreşte} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow $ stim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[w] $ se opreşte $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$. | ||
| Line 188: | Line 191: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{all}(M) = M \Rightarrow \forall x, M[x] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | + | - $ f_{all} (M) = TRUE \Rightarrow \forall x, M[x] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE$ |
| - | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M[x] \text{se opreşte pentru orice x} \Rightarrow f_{all}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[x] $ se opreşte pentru orice x $ \Rightarrow f_{all} (M, w) = TRUE$ |
| ------ | ------ | ||
| Line 216: | Line 220: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{any}(M) = M \Rightarrow \exists w, M[w] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | + | - $ f_{any}(M) = M \Rightarrow \exists w, M[w] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ |
| - | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow \exists w \text{ astfel încât } M[w] \text{ se opreşte} \Rightarrow f_{any}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow \exists w $ astfel încât $ M[w] $ se opreşte $ \Rightarrow f_{any}(M, w) = TRUE$ |
| ------ | ------ | ||
| Line 239: | Line 243: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{p} = TRUE \Rightarrow \forall x M \text{decide daca e palindrom} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | + | - $ f_{p} = TRUE \Rightarrow \forall x M $ decide daca e palindrom $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ |
| - | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M \text{ decide corect dacă x este palindrom} \Rightarrow f_{p} = TRUE$ | + | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M $ decide corect dacă x este palindrom $ \Rightarrow f_{p} = TRUE$ |
| -------- | -------- | ||
| Line 260: | Line 264: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{own} = TRUE \Rightarrow M[enc(M)] \text{ se termină} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | + | - $ f_{own} = TRUE \Rightarrow M[enc(M)] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ |
| - | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M[enc(M)] \text{ se termină} \Rightarrow f_{own} = TRUE$ | + | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[enc(M)] $ se termină $ \Rightarrow f_{own} = TRUE$ |
| ===== Exercițiul 3 ===== | ===== Exercițiul 3 ===== | ||