Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Next revision | Previous revision | ||
|
aa:lab:sol:3 [2023/10/27 11:20] ioana.dabelea created |
aa:lab:sol:3 [2023/10/31 18:51] (current) alexandra.udrescu01 [Exercițiul 2] |
||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | 1. | + | ===== Exercițiul 1 ===== |
| * $ f_{111}(M) = TRUE \iff M[111] \rightarrow TRUE$ | * $ f_{111}(M) = TRUE \iff M[111] \rightarrow TRUE$ | ||
| Line 16: | Line 16: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{vom returna x == 111} \Rightarrow \text{când x este 111}, M^* \text{va tranziţiona în Y} => M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $\Rightarrow $ vom returna x == 111 $\Rightarrow $ când x este 111, $ M^* $ va tranziţiona în Y $\Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow $ am ajuns la return $\Rightarrow $ run M[w] nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $\Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$. | ||
| + | ------ | ||
| * $ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $ | * $ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $ | ||
| Line 36: | Line 36: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa verificăm dacă x este palindrom} \Rightarrow \text{când x este palindrom}, M^* \text{va tranziţiona în Y} \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $\Rightarrow $ o sa verificăm dacă x este palindrom $\Rightarrow $ când x este palindrom, $ M^* $ va tranziţiona în Y $ \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{p}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{decide daca x este palindrom } \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{p} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ decide daca x este palindrom $ \forall x \Rightarrow $ am ajuns la return $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$. | ||
| + | ------ | ||
| * $ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$ | * $ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$ | ||
| Line 55: | Line 55: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return} \Rightarrow f_{rev}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return $ \Rightarrow f_{rev} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{rev}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{calculeaza rev(x) } \forall x \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{rev} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ calculeaza rev(x) $ \forall x \forall x \Rightarrow $ am ajuns la return $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$. | ||
| + | ------ | ||
| * $ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$ | * $ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$ | ||
| Line 76: | Line 76: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow f_{own}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow M^*[enc(M^*)] $ se termina $ \Rightarrow f_{own} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{own}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{own} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] $ se termina $ \Rightarrow $ run M[w] din $ M^* $ nu a ciclat $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$. | ||
| + | ------ | ||
| * $ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$ | * $ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$ | ||
| Line 99: | Line 99: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{ se termină in n paşi} \Rightarrow M^*[w] \text{se opreşte } \forall x \text{, |x| < n}, \text{ciclează } \forall x \text{, |x| >= n} \Rightarrow f_{finite}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină in n paşi $ \Rightarrow M^*[w] $ se opreşte $ \forall x $ , |x| < n $ , $ ciclează $ \forall x $ , |x| >= n $ \Rightarrow f_{finite} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{finite}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ se opreşte după un număr finit de cuvinte }\Rightarrow \text{M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{finite} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ se opreşte după un număr finit de cuvinte $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$. | ||
| + | ------ | ||
| * $ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$ | * $ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$ | ||
| Line 121: | Line 121: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{se poate opri doar pentru x = 101} \Rightarrow f_{set}(A, M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ cum $ M^* $ se poate opri doar pentru x = 101 $ \Rightarrow \forall w f_{set} (A, M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{set}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{o să se oprească pentru orice x din A} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{set} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ o să se oprească pentru orice x din A $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| - | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$. | ||
| + | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$. | ||
| + | ------ | ||
| * $ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$ | * $ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$ | ||
| Line 140: | Line 141: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{printează x la final} \Rightarrow f_{x}(M^*) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow $ cum $ M^* $ printează x la final $ \Rightarrow f_{x} (M^*) = TRUE$ |
| - | - $ f_{x}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ajunge să printeze x pe bandă} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{x} (M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] $ ajunge să printeze x pe bandă $ \Rightarrow $ M[w] s-a oprit $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| - | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$. | ||
| + | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$. | ||
| + | ------ | ||
| * $ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie nu se termină) pentru orice cuvânt. | * $ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie nu se termină) pentru orice cuvânt. | ||
| Line 164: | Line 166: | ||
| Demonstraţii: | Demonstraţii: | ||
| - | - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x, iar } M_{1}[x] \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | + | - $ f_{h} (M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} [x] $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE$ |
| - | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow \text{stim din construcţie că} M_{1} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M[w] \text{se opreşte} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ | + | - $ f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow $ stim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[w] $ se opreşte $ \Rightarrow f_{h} (M, w) = TRUE$ |
| Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$. | Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$. | ||
| + | |||
| + | ===== Exercițiul 2 ===== | ||
| + | * $ f_{all} \le_m f_{eq}$ | ||
| + | |||
| + | $ M \to t \to M_{1}, M_{2}$ | ||
| + | Trebuie să construim o transformare t, astfel încât să obţinem 2 maşini cu acelaşi comportament doar dacă M[w] se opreşte **pentru orice** w | ||
| + | |||
| + | $ M_{1}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | acceptă | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | $ M_{2}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | run M[x] | ||
| + | acceptă | ||
| + | </code> | ||
| + | **Atenţie** acest exercitiu are transformarea diferită faţă de exerciţiul 1, subpunctul 8. | ||
| + | |||
| + | Demonstraţii: | ||
| + | - $ f_{all} (M) = TRUE \Rightarrow \forall x, M[x] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE$ | ||
| + | - $ f_{eq} (M_{1} , M_{2} ) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[x] $ se opreşte pentru orice x $ \Rightarrow f_{all} (M, w) = TRUE$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ------ | ||
| + | * $ f_{any} \le_m f_{eq}$ | ||
| + | |||
| + | $ M \to t \to M_{1}, M_{2}$ | ||
| + | |||
| + | $ M_{1}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | acceptă | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | $ M_{2}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | k = 1 | ||
| + | inputs = [0] | ||
| + | while true { | ||
| + | for w in inputs: | ||
| + | step(M[w]) // rulam o singura tranzitie | ||
| + | if(M[w] s-a oprit) | ||
| + | accepta | ||
| + | k++ | ||
| + | inputs.append(k) | ||
| + | } | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | Demonstraţii: | ||
| + | - $ f_{any}(M) = M \Rightarrow \exists w, M[w] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | ||
| + | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow \exists w $ astfel încât $ M[w] $ se opreşte $ \Rightarrow f_{any}(M, w) = TRUE$ | ||
| + | |||
| + | ------ | ||
| + | * $ f_{p} \le_m f_{eq}$ | ||
| + | |||
| + | $ M \to t \to M_{1}, M_{2}$ | ||
| + | |||
| + | $ M_{1}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | acceptă | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | $ M_{2}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | run M[x] | ||
| + | if M decide corect daca x este palindrom: | ||
| + | accepta | ||
| + | else: | ||
| + | nu accepta | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | Demonstraţii: | ||
| + | - $ f_{p} = TRUE \Rightarrow \forall x M $ decide daca e palindrom $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | ||
| + | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M $ decide corect dacă x este palindrom $ \Rightarrow f_{p} = TRUE$ | ||
| + | |||
| + | -------- | ||
| + | * $ f_{own} \le_m f_{eq}$ | ||
| + | |||
| + | $ M \to t \to M_{1}, M_{2}$ | ||
| + | |||
| + | $ M_{1}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | acceptă | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | $ M_{2}[x]: $ | ||
| + | <code> | ||
| + | if x == enc(M): | ||
| + | run M[x] | ||
| + | accepta | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | Demonstraţii: | ||
| + | - $ f_{own} = TRUE \Rightarrow M[enc(M)] $ se termină $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x, iar $ M_{1} $ deja acceptă orice x din construcţie $ \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$ | ||
| + | - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] $ , ştim din construcţie că $ M_{1} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M_{2} $ acceptă orice x $ \Rightarrow M[enc(M)] $ se termină $ \Rightarrow f_{own} = TRUE$ | ||
| + | |||
| + | ===== Exercițiul 3 ===== | ||
| + | Demonstrăm că $ \le_m$ e reflexivă | ||
| + | |||
| + | Fie o problemă $ f$ şi o transformare $ t: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*, t(w) = w$ | ||
| + | |||
| + | $ f(w) = True \iff f(t(w)) = TRUE$ deci $ f \le_m f$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Demonstrăm că $ \le_m$ e tranzitivă | ||
| + | |||
| + | Fie probleme de decizie f, g, h astfel încât: | ||
| + | |||
| + | $ f \le_m g$ (deci există o transformare $ t_{1}$ a.î. $ f(w) = TRUE \iff g(t_{1}(w)) = TRUE$) | ||
| + | |||
| + | $ g \le_m h$ (deci există o transformare $ t_{2}$ a.î. $ g(w) = TRUE \iff h(t_{2}(w)) = TRUE$) | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Luăm transformarea $ t = t_{1} \circ t_{2}$: | ||
| + | |||
| + | $ f(w) = TRUE \iff h(t_{2}(t_{1}(w))) = TRUE$ | ||
| + | |||
| + | $ f(w) = TRUE \iff h(t(w))) = TRUE \Rightarrow f \le_m h$ | ||
| + | |||
| + | |||