Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:sol:2 [2023/10/23 11:12]
vlad.juja
+++ aa:lab:sol:2 [2025/10/12 18:49] (current)
dmihai
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Computing ======
+===== Soluții notații asimptotice și analiză amortizată =====
-/*
-<note important>
-Solutii:  https://drive.google.com/file/d/1Y6JV-pDyuvejx3g8KL6SpWzbp52VMWnY/view?usp=sharing
-</note>
-*/
-===== Exerciții =====
+==== Notații asimptotice ====
-.
+. Dați exemple de câte o funcție din următoarele clase de complexitate:
-^  ^ 0 ^ 1 ^ $\square$ ^
+$ O(n)$
-| $ q_1$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_2, \square, \leftarrow$  |
+<note>
-| $ q_2$ | $ Y, 0, -$ | $ N, 1, -$ | $ N, \square, -$  |
+Trebuie sa gasim functii care cresc maxim la fel de repede ca f(n)=n.
+Exemple soluții posibile: g(n)=n+6, g(n)=8n+7 (aceeasi crestere),
+g(n)=log(n) (crestere mai mica)
+</note>
+$Ω(log(n))$
+<note>
+Trebuie sa gasim functii care cresc mai repede sau la fel de repede ca f(n)=n^2.
+Exemple soluții posibile: g(n)=100*log(n)+5, (aceeasi crestere), g(n)=n^3,
+g(n)=nlog(n) (mai repede)
+</note>
+$θ(n^2)$
+<note>
+Trebuie sa gasim functii care cresc la fel de repede ca f(n)=log(n).
+Exemple soluții posibile: g(n)=a*n^2+b*n+c*log(n)+d, a>0 (aceeasi crestere ca n^2, fiind dominant in functie)
+</note>
-(ꞓ, q<sub>1</sub>, 100) ⊢ (1, q<sub>1</sub>, 00) ⊢ (10, q<sub>1</sub>, 0) ⊢ (100, q<sub>1</sub>, □) ⊢ (10, q<sub>2</sub>, 0) ⊢ (10, Y, 0)
+$ɷ(1/n)$
+<note>
+Trebuie sa gasim functii care cresc strict mai repede decat f(n)=1/n.
+Cum 1/n este o functie descrescatoare, solutia este orice functie crescatoare.
+Exemple soluții posibile: g(n)=c, c = constanta, g(n)=n+23, g(n)=nlogn+n^4 etc.
+</note>
-(ꞓ, q<sub>1</sub>, 1011) ⊢ (1, q<sub>1</sub>, 011) ⊢ (10, q<sub>1</sub>, 11) ⊢
+$ o(3^n)$
-(101, q<sub>1</sub>, 1) ⊢ (1011, q<sub>1</sub>, □) ⊢ (101, q<sub>2</sub>, 1) ⊢ (101, N, 1)
+<note>
+Trebuie sa gasim functii care cresc strict mai incet decat f(n)=3^n.
+Exemple soluții posibile: g(n)=n^p,p>=0  etc.
+</note>
-----
-.
+. Verificați valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
-^  ^ 0 ^ 1 ^ $\square$ ^
+$ √n∈O(logn)$
-| $ q_1$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_2, \square, \leftarrow$  |
+<note>
-| $ q_2$ | $ q_2, 1, \rightarrow$ | $ q_2, 0, \rightarrow$ | $ q_1, \square, \rightarrow$ |
+f(n)=logn, g(n)=√n. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-(ꞓ, q<sub>1</sub>, 1011) ⊢ (0, q<sub>1</sub>, 011) ⊢ (01, q<sub>1</sub>, 11) ⊢ (010, q<sub>1</sub>, 1) ⊢ (0100, q<sub>1</sub>, □) ⊢
+lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(√n/log(n))=(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(n/2*√n)=1/2*lim(n→∞)⁡(√n)=+∞ => **Fals**
-(010, q<sub>2</sub>, 0) ⊢ (0101, q<sub>2</sub>, □) ⊢ (0101□, q<sub>1</sub>, □) ⊢
+</note>
-(0101, q<sub>2</sub>, □) ⊢ (0101□, q<sub>1</sub>, □) ⊢ (0101, q<sub>2</sub>, □) ⊢ ...\\ \\
-Se observă că mașina ciclează pentru acest input.
+$ logn∈O(log(log n))$
+<note>
+f(n)=log(logn), g(n)=logn. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-----
+lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(logn/log(log n))=(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(1/n / 1/logn * 1/n)=1/2*lim(n→∞)⁡(logn)=+∞ => **Fals**
+</note>
-. Soluție:
+$ n∈O(√n logn)$
-^  ^ 0 ^ 1 ^ $\square$ ^
+<note>
-| $ q_1$ | $ q_1, 0, \rightarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ | $ q_2, 1, \leftarrow$  |
+f(n)=√n logn, g(n)=n. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-| $ q_2$ | $ q_2, 0, \leftarrow$ | $ q_2, 1, \leftarrow$ | $ q_1, 1, \rightarrow$ |
-(ꞓ, q<sub>1</sub>, 01) ⊢ (0, q<sub>1</sub>, 1) ⊢ (01, q<sub>1</sub>, □) ⊢ (0, q<sub>2</sub>, 11) ⊢ (□, q<sub>2</sub>, 011) ⊢ (□, q<sub>2</sub>, □011) ⊢
+lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(n/√n logn)=lim(n→∞)⁡(√n/logn)=(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(1/2 * 1/n^2 / 1/n)=1/2*lim(n→∞)⁡(1/n)=0 => **Fals**
-(1, q<sub>1</sub>, 011) ⊢ (10, q<sub>1</sub>, 11) ⊢
+</note>
-(101, q<sub>1</sub>, 1) ⊢ (1011, q<sub>1</sub>, □) ⊢ (101, q<sub>2</sub>, 11) ⊢
-(10, q<sub>2</sub>, 111) ⊢ (1, q<sub>2</sub>, 0111) ⊢ (□, q<sub>2</sub>, 10111) ⊢ (□, q<sub>2</sub>, □10111) ⊢ ...\\ \\
-Se observă că mașina ciclează pentru acest input. Ea va continua să scrie 1 la stânga și la dreapta pe bandă.
+$ n+logn∈θ(n)$
+<note>
+f(n)=n, g(n)=n + logn. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-----
+lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(n + logn/n)=1 + lim(n→∞)⁡(logn/n)=(l'Hospital)1 + lim(n→∞)⁡(1/n)= 1 => **Adevarat**
+</note>
-.
+$ log(nlogn)∈θ(logn)$
+<note>
+f(n)=logn, g(n)=log(nlogn). Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-Acest exercițiu face referire la conceptul de Busy Beaver, mai precis cazurile cu 2 simboluri și 1,2 sau 3 stări. Aceasta este o problemă interesantă și deschisă din perspectiva teoriei calculabilității și a complexității algoritmice. Pentru a găsi numărul maxim de tranziții și funcția de tranziție $ \delta$, este nevoie de o abordare exploratorie și de un efort considerabil de analiză pentru fiecare configurație specifică a mașinii. \\ \\
+lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))==(l'Hospital)lim(n→∞)⁡(1/nlogn*(logn+1)  /  1/n)=lim(n→∞)⁡(1/logn*(logn+1)) =lim(n→∞)⁡(1 + 1/logn)=1 => **Adevarat**
+</note>
+$ √n∈ɷ(log n)$
 <note>
+f(n)=logn, g(n)= √n. Cum f si g sunt functiile f si g sunt monotone si cresctoare, verific afirmatia utilizand limite.
-Mai multe informații găsiți aici: https://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver
+lim(n→∞)⁡(g(n)/f(n))=lim(n→∞)⁡(√n/logn)= (l'Hospital)lim(n→∞)⁡(1/2*√n)= ∞ => **Adevarat**
 </note>
-----
+==== Analiză amortizată ====
 .
+<code c>
-Fie $ M_f$ o Mașină Turing care "computează" $ f \Rightarrow \forall w, M_f[w] \rightarrow f(w)$ \\ \\
+#include <stdio.h>
-Similar, fie $ M_g$ o Mașină Turing care "computează" $ g \Rightarrow \forall w, M_g[w] \rightarrow g(w)$ \\ \\
+#include <stdlib.h>
+#include <string.h>
-Pentru a nu apărea probleme, este important ca $ M_f$ și $ M_g$ să nu aibă stări cu aceeași denumire. Construim $ M_{fg}$ care începe prin a rula tranzițiile din $ M_f$ pe inputul $ w \Rightarrow$ obținem pe bandă $ f(w)$. Folosind stări auxiliare, mutăm cursorul până la începutul rezultatului aflat pe bandă, lăsând mașina $ M_{fg}$ în configurația: $ (□, Stare-Inițială-M_g, f(w))$, care rulează apoi tranzițiile din $ M_g$ pe noul input, $ f(w)$. În final se obține $ g(f(w))$, adică $ (g \circ f)(w)$.
-----
-.
-Trebuie să demonstrăm că putem echivala orice tranziție a mașinii $ M$ cu o tranziție sau un set de tranziții în cadrul mașinii $ M'$.\\ \\
-Dacă mașina $ M$ are o tranziție care mută capul de citire la stânga sau la dreapta, atunci acea tranziție va arăta identic pentru mașina $ M'$, pentru că, în acest caz, nu există nici un fel de restricție.
-Pentru $ \delta M(q,c) = (q',c',dir),  dir \in \{\leftarrow, \rightarrow\}$, construim $ \delta M'(q,c) = (q',c',dir)$.\\ \\
-Dacă mașina $ M$ are o tranziție care nu modifică poziția capului de citire, putem simula acest comportament în cadrul mașinii $ M'$, mutând capul de citire la dreapta după care înapoi la stânga, trecând printr-o stare auxiliară.
-Pentru $ \delta M(q,c) = (q',c',-)$ construim $ \delta M'(q,c) = (q_{aux},c',\rightarrow)$ și $ \delta M'(q_{aux},x) = (q',x,\leftarrow)$, $ \forall x \in \Gamma$.
-----
-.
-Soluția constă în a mapa fiecare tuplu $ t \in \Gamma ^k$ la un simbol din $ \Gamma'$. Pentru a putea face acest lucru, $ \vert \Gamma ' \vert = \vert \Gamma \vert ^k$. \\ \\
-Fie a și b simbolurile din $ \Gamma '$ la care se mapează tuplurile: $ (t_1,t_2 ... t_k)$, respectiv $ (t_1', t_2' ... t_k')$ din $ \Gamma ^k$. \\ \\
-Construim $ \delta M'$ în felul următor:
-Pentru $ \delta M'(q, (t_1,t_2 ... t_k)) = (q', (t_1', t_2' ... t_k'), dir) \Rightarrow \delta M(q, a) = (q', b, dir), dir \in (\leftarrow, -, \rightarrow)$.
-----
-.
-Vom simula comportamentul mașinii $ M$ utilizând un caracter unic, care nu exista în $ \Gamma _M$, spre exemplu: $ ' \vert '$. Așadar, fie $ M'$ construită în următorul fel:
-$ \delta M'(q,c) = \delta M(q,c), \forall q \in Q_M, c \in \Gamma _M$
-$ \Gamma _{M'} = \Gamma _M \cup \{ ' \vert ' \} , \{ ' \vert ' \} \notin \Gamma _M$
-$ Q_{M'} = Q_M \cup \{ q_1', q_{1aux}' \}$ \\ \\
-Pentru fiecare stare, vom insera tranziția care nu ne va permite depașirea acestui caracter spre stânga.
-$ \delta M'(q, ' \vert ') = (q, ' \vert ', \rightarrow ), \forall q \in Q$ \\ \\
-În plus, în $ M'$ trebuie să schimbăm starea inițială pentru a scrie $ ' \vert '$ în stânga inputului.
-$ \delta M'(q_1', c) = \delta M'(q_{1aux}', c, \leftarrow ), \forall c \in \Gamma _M$
-$ \delta M'(q_{1aux}', □) = (q_1, ' \vert ', \rightarrow ), q_1 -$ starea inițială a mașinii $ M$
-----
-.
-Construim $ \delta M$ în felul următor: \\ \\
+#define COUNTER_SIZE 100
-Pentru o tranziție care nu modifică poziția capului de citire, nu se schimbă nimic.
+unsigned total_flips = 0;
-Pentru $ \delta M'(q,c) = (q',c',-)$ construim $ \delta M(q,c) = (q',c',-)$, $ q,q' \in Q_M \cup \{ Y, N, H \} , c,c' \in \Gamma _M$ \\ \\
+int inc(unsigned *a, size_t m)
+{
+    size_t i = 0;
+    unsigned current_flips = 0;
-Pentru orice stare în care se ajunge cu tranziție la dreapta, adăugăm $ (n-1)$ extra stări și $ (n-1)$ extra tranziții în $ M$.
+    while (i < m && a[i] == 1) {
+        a[i] = 0;
+        current_flips++;
+        i++;
+    }
-Pentru $ \delta M'(q,c) = (q',c', n \rightarrow)$, construim: \\ \\
+    if (i == m) {
+        total_flips += current_flips;
+        return -1;
+    }
-$ \delta M(q,c) = (R_{n-1}q',c', \rightarrow)$
+    a[i] = 1;
+    current_flips++;
-$ \delta M(R_{n-1}q',x) = (R_{n-2}q',x, \rightarrow), \forall x \in \Gamma _M$
+    total_flips += current_flips;
-$ \delta M(R_{n-2}q',x) = (R_{n-3}q',x, \rightarrow), \forall x \in \Gamma _M$
+    return 0;
+}
-$ ...$
+int main(int argc, char *argv[])
+{
+    unsigned counter[COUNTER_SIZE];
+    memset(counter, 0, sizeof(counter));
-$ \delta M(R_1q',x) = (q',x, \rightarrow), \forall x \in \Gamma _M$ \\ \\
+    if (argc < 2) {
+        fprintf(stderr, "Usage: %s <number_of_increments>\n", argv[0]);
+        return 1;
+    }
-Pentru orice stare în care se ajunge cu tranziție la stânga, se procedează similar.
+    unsigned n = strtoull(argv[1], NULL, 10);
+    if (n == 0) {
+        fprintf(stderr, "Invalid number of increments: %s\n", argv[1]);
+        return 1;
+    }
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        inc(counter, COUNTER_SIZE);
+    }
+    printf("Total flips: %u\n", total_flips);
+}
+</code>