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dmihai 		aa:lab:sol:12 [2026/01/19 13:01] (current)
dmihai
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-====== ​TDA-uri și inducție structurală ======+====== ​Abordări practice pentru probleme NP-Complete ​======
   ​   ​
- +{{:aa:lab:sol:kernelization-sol.zip|}}
-1. +
- +
-    (APP1) append(Empty,​ l) = l +
-    (APP2) append(Cons(x,​ xs), l) = Cons(x, append(xs, l)) +
- +
-    (REV1) reverse(Empty) = Empty +
-    (REV2) reverse(Cons(x,​ xs)) = append(reverse(xs),​ Cons(x, Empty)) +
- +
-2. +
- +
-    (M1) mirror(Nil) = Nil +
-    (M2) mirror(Node(e,​ l, r)) =  Node(e, mirror(r), mirror(l)) +
- +
-    (F1) flatten(Nil) = Empty +
-    (F2) flatten(Node(e,​ l, r)) = Cons(e, append(flatten(l),​ flatten(r))) +
- +
-3.  +
- +
-    (UPD1) update(MEmpty,​ k, v) = Insert((k, v), MEmpty) +
-    (UPD2) update(Insert((k,​ v), m), k', v') = if k = k' then Insert((k, v'), m) +
-                                                         else Insert((k, v), update(m, k', v')) +
- +
-    (DEL1) delete(MEmpty,​ k) = MEmpty +
-    (DEL2) delete(Insert((k,​ v), m), k') = if k = k' then m +
-                                                     else Insert((k, v), delete(m, k')) +
-                                                      +
-4. +
- +
-  * $ \forall t \in \texttt{BTree}. size(t) = size(mirror(t)) $ +
- +
-    cazul de baza: +
-    mirror(Nil) = Nil (M1) => size(Nil) = size(mirror(Nil)) +
-     +
-    ipoteza inductiei: size(l) = size(mirror(l)),​ size(r) = size(mirror(r)) +
-    size(Node(e,​ l, r)) = 1 + size(l) + size(r) ​                ​(S2) +
-                        = 1 + size(r) + size(l) ​                ​(comutativitatea adunării) ​  +
-                        = 1 + size(mirror(r)) + size(mirror(l)) ​ (ipoteza inductiei) +
-                        = size(Node(e,​ mirror(r), mirror(l))) ​   (S2) +
-                        = size(mirror(Node(e,​ l, r))             ​(M2) +
- +
-  * $ \forall t \in \texttt{BTree}. size(t) = length(flatten(t)) $ +
- +
-     cazul de baza: +
-     ​size(Nil) = (S1) = 0 = (L1) = length(Empty) = (F1) = length(flatten(Nil)) +
-      +
-     ​ipoteza inductiei: size(l) = length(flatten(l)),​ size(r) = length(flatten(r)) +
-     ​size(Node(e,​ l, r)) = 1 + size(l) + size(r) ​                          ​(S2) +
-                         = 1 + length(flatten(l)) + length(flatten(r)) ​    ​(ipoteza inductiei) +
-                         = 1 + length(append(flatten(l),​ flatten(r)) ​      (vom demonstra) +
-                         = length(Cons(e,​ append(flatten(l),​ flatten(r))) ​ (L2) +
-                         = length(flatten(Node(e,​ l, r)))                  (F2) +
-                          +
-mai trebuie sa demonstram pasul intermediar: demonstram ca +
- +
-     ​length(append(a,​ b)) = length(a) + length(b) ​  ​(LAPP) +
-     prin inductie dupa a +
-      +
-     cazul de baza: +
-     ​length(append(Empty,​ b)) = length(b) ​ (APP1) +
-                              = 0 + length(b) +
-                              = length(Empty) + length(b) +
-      +
-     ​ipoteza inductiei: length(append(xs,​ b)) = length(xs) + length(b) +
-     pasul inductiei:​ +
-     ​length(append(Cons(x,​ xs), b)) = length(Cons(x,​ append(xs, b)))  (APP2) +
-                                    = 1 + length(append(xs,​ b))       ​(L2) +
-                                    = 1 + length(xs) + length(b) ​    (ip. inductiei) +
-                                    = length(xs) + 1 + length(b) ​     (comutativitatea adunării) +
-                                     +
-                                    = length(Cons(x,​ xs)) + length(b) (L2) +
- +
-  * $ \forall l \in \texttt{List}. append(l, Empty) = l $ +
- +
-      cazul de baza: +
-      append(Empty,​ Empty) = Empty  (APP1) +
-       +
-      ipoteza inductiei: append(xs, Empty) = s +
-      append(Cons(x,​ xs), Empty) = Cons(x, append(xs, Empty)) ​ (APP2) +
-                                 = Cons(x, s)                  (ip. inductiei) +
- +
-  * $ \forall l_1, l_2, l_3 \in \texttt{List}. append(l_1, append(l_2, l_3)) = append(append(l_1,​ l_2), l_3) $ +
- +
-     facem inductie structurala dupa l_1. Vom nota append(a, b) cu a ++ b ca sa ne fie mai usor +
-     cazul de baza: +
-     Empty ++ (l_2 ++ l_3)) = l_2 ++ l_3                  (APP1) +
-                            = (Empty ++ l_2) ++ l_3       ​(APP1) +
-      +
-     ​ipoteza inductiei: l_1 ++ (l_2 ++ l_3) = (l_1 ++ l_2) ++ l_3 +
-     pasul inductiei:  +
-     ​Cons(x,​ l_1) ++ (l_2 ++ l_3) = Cons(x, l_1 ++ (l_2 ++ l_3))    (APP2) +
-                                  = Cons(x, (l_1 ++ l_2) ++ l_3)    (ip. inductiei) +
-                                  = Cons(x, l_1 ++ l_2) ++ l_3      (APP2) +
-                                  = (Cons(x, l_1) ++ l_2) ++ l_3    (APP2) +
- +
-  * $ \forall l_1, l_2 \in \texttt{List}. length(append(l_1,​ l_2)) = length(append(l_2,​ l_1)) $ +
- +
-      +
-       facem inductie structurala dupa l_1 +
-       cazul de baza: +
-       ​length(append(Empty,​ l_2)) = length(l_2) ​                  ​(APP1) +
-                                  = length(append(l_2,​ Empty)) ​   (4.c) +
-        +
-       ​ipoteza inductiei: length(append(l_1,​ l_2)) = length(append(l_2,​ l_1)) +
-       pasul inductiei:​ +
-       ​length(append(Cons(x,​ l_1), l_2)) = length(Cons(x,​ append(l_1, l_2))) ​ (APP2) +
-                                         = 1 + length(append(l_1,​ l_2))       ​(L2) +
-                                         = 1 + length(l_1) + length(l_2) ​     (LAPP) +
-                                         = length(l_2) + 1 + length(l_1) ​     (comutativitatea adunării) +
-                                         = length(l_2) + length(Cons(x,​ l_1)) (L2) +
-                                         = length(append(l_2,​ Cons(x, l_1))) ​ (LAPP) +
- +
-   +
-  +
-  * $ \forall l_1, l_2 \in \texttt{List}. reverse(append(l_1,​ l_2)) = append(reverse(l_2),​ reverse(l_1)) $. +
- +
-       facem inductie structurala dupa l_1 +
-       cazul de baza: +
-       ​reverse(append(Empty,​ l_2)) = reverse(l_2) ​                           (APP1) +
-                                   = append(reverse(l_2),​ Empty) ​            ​(4.c) +
-                                   = append(reverse(l_2),​ reverse(Empty)) ​   (REV1) +
-        +
-       ​ipoteza inductiei: reverse(append(l_1,​ l_2)) = append(reverse(l_2),​ reverse(l_1))  +
-       pasul inductiei:​ +
-        +
-       ​reverse(append(Cons(x,​ l_1), l_2)) = reverse(Cons(x,​ append(l_1, l_2))) ​                            ​(APP2) +
-                                          = append(reverse(append(l_1,​ l_2)), Cons(x, Empty)) ​             (REV2) +
-                                          = append(append(reverse(l_2),​ reverse(l_1)),​ Cons(x, Empty)) ​    (ip. inductivă) +
-                                          = append(reverse(l_2),​ append(reverse(l_1),​ Cons(x, Empty))) ​    ​(4.d) +
-                                          = append(reverse(l_2),​ reverse(Cons(x,​ l_1))) ​                   (REV2) +