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dmihai created
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dmihai
@@ Line 1: / Line 1: @@
+====== TDA-uri și inducție structurală ======
 .
@@ Line 24: / Line 27: @@
     (DEL2) delete(Insert((k, v), m), k') = if k = k' then m
                                                      else Insert((k, v), delete(m, k'))
+.
+  * $ \forall t \in \texttt{BTree}. size(t) = size(mirror(t)) $
+    cazul de baza:
+    mirror(Nil) = Nil (M1) => size(Nil) = size(mirror(Nil))
+    ipoteza inductiei: size(l) = size(mirror(l)), size(r) = size(mirror(r))
+    size(Node(e, l, r)) = 1 + size(l) + size(r)                 (S2)
+                        = 1 + size(r) + size(l)                 (comutativitatea adunării)
+                        = 1 + size(mirror(r)) + size(mirror(l))  (ipoteza inductiei)
+                        = size(Node(e, mirror(r), mirror(l)))    (S2)
+                        = size(mirror(Node(e, l, r))             (M2)
+  * $ \forall t \in \texttt{BTree}. size(t) = length(flatten(t)) $
+     cazul de baza:
+     size(Nil) = (S1) = 0 = (L1) = length(Empty) = (F1) = length(flatten(Nil))
+     ipoteza inductiei: size(l) = length(flatten(l)), size(r) = length(flatten(r))
+     size(Node(e, l, r)) = 1 + size(l) + size(r)                           (S2)
+                         = 1 + length(flatten(l)) + length(flatten(r))     (ipoteza inductiei)
+                         = 1 + length(append(flatten(l), flatten(r))       (vom demonstra)
+                         = length(Cons(e, append(flatten(l), flatten(r)))  (L2)
+                         = length(flatten(Node(e, l, r)))                  (F2)
+mai trebuie sa demonstram pasul intermediar: demonstram ca
+     length(append(a, b)) = length(a) + length(b)   (LAPP)
+     prin inductie dupa a
+     cazul de baza:
+     length(append(Empty, b)) = length(b)  (APP1)
+                              = 0 + length(b)
+                              = length(Empty) + length(b)
+     ipoteza inductiei: length(append(xs, b)) = length(xs) + length(b)
+     pasul inductiei:
+     length(append(Cons(x, xs), b)) = length(Cons(x, append(xs, b)))  (APP2)
+                                    = 1 + length(append(xs, b))       (L2)
+                                    = 1 + length(xs) + length(b)     (ip. inductiei)
+                                    = length(xs) + 1 + length(b)      (comutativitatea adunării)
+                                    = length(Cons(x, xs)) + length(b) (L2)
+  * $ \forall l \in \texttt{List}. append(l, Empty) = l $
+      cazul de baza:
+      append(Empty, Empty) = Empty  (APP1)
+      ipoteza inductiei: append(xs, Empty) = s
+      append(Cons(x, xs), Empty) = Cons(x, append(xs, Empty))  (APP2)
+                                 = Cons(x, s)                  (ip. inductiei)
+  * $ \forall l_1, l_2, l_3 \in \texttt{List}. append(l_1, append(l_2, l_3)) = append(append(l_1, l_2), l_3) $
+     facem inductie structurala dupa l_1. Vom nota append(a, b) cu a ++ b ca sa ne fie mai usor
+     cazul de baza:
+     Empty ++ (l_2 ++ l_3)) = l_2 ++ l_3                  (APP1)
+                            = (Empty ++ l_2) ++ l_3       (APP1)
+     ipoteza inductiei: l_1 ++ (l_2 ++ l_3) = (l_1 ++ l_2) ++ l_3
+     pasul inductiei:
+     Cons(x, l_1) ++ (l_2 ++ l_3) = Cons(x, l_1 ++ (l_2 ++ l_3))    (APP2)
+                                  = Cons(x, (l_1 ++ l_2) ++ l_3)    (ip. inductiei)
+                                  = Cons(x, l_1 ++ l_2) ++ l_3      (APP2)
+                                  = (Cons(x, l_1) ++ l_2) ++ l_3    (APP2)
+  * $ \forall l_1, l_2 \in \texttt{List}. length(append(l_1, l_2)) = length(append(l_2, l_1)) $
+       facem inductie structurala dupa l_1
+       cazul de baza:
+       length(append(Empty, l_2)) = length(l_2)                   (APP1)
+                                  = length(append(l_2, Empty))    (4.c)
+       ipoteza inductiei: length(append(l_1, l_2)) = length(append(l_2, l_1))
+       pasul inductiei:
+       length(append(Cons(x, l_1), l_2)) = length(Cons(x, append(l_1, l_2)))  (APP2)
+                                         = 1 + length(append(l_1, l_2))       (L2)
+                                         = 1 + length(l_1) + length(l_2)      (LAPP)
+                                         = length(l_2) + 1 + length(l_1)      (comutativitatea adunării)
+                                         = length(l_2) + length(Cons(x, l_1)) (L2)
+                                         = length(append(l_2, Cons(x, l_1)))  (LAPP)
+  * $ \forall l_1, l_2 \in \texttt{List}. reverse(append(l_1, l_2)) = append(reverse(l_2), reverse(l_1)) $.
+       facem inductie structurala dupa l_1
+       cazul de baza:
+       reverse(append(Empty, l_2)) = reverse(l_2)                            (APP1)
+                                   = append(reverse(l_2), Empty)             (4.c)
+                                   = append(reverse(l_2), reverse(Empty))    (REV1)
+       ipoteza inductiei: reverse(append(l_1, l_2)) = append(reverse(l_2), reverse(l_1))
+       pasul inductiei:
+       reverse(append(Cons(x, l_1), l_2)) = reverse(Cons(x, append(l_1, l_2)))                             (APP2)
+                                          = append(reverse(append(l_1, l_2)), Cons(x, Empty))              (REV2)
+                                          = append(append(reverse(l_2), reverse(l_1)), Cons(x, Empty))     (ip. inductivă)
+                                          = append(reverse(l_2), append(reverse(l_1), Cons(x, Empty)))     (4.d)
+                                          = append(reverse(l_2), reverse(Cons(x, l_1)))                    (REV2)