Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
|
aa:lab:sol:11 [2024/01/06 12:39] alexandra.udrescu01 |
aa:lab:sol:11 [2024/01/08 23:55] (current) stefan.sterea |
||
|---|---|---|---|
| Line 29: | Line 29: | ||
| Alegem: \\ | Alegem: \\ | ||
| - | $ \hat(c_{push}) = 2 $ \\ | + | $ \hat c_{push} = 2 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{pop}) = 0 $ \\ | + | $ \hat c_{pop} = 0 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{mpop}) = 0 $ | + | $ \hat c_{mpop} = 0 $ |
| Aratam ca: $ cost(S) \leq \sum_{i=1}^{n}\hat{c_i} $ . \\ | Aratam ca: $ cost(S) \leq \sum_{i=1}^{n}\hat{c_i} $ . \\ | ||
| Line 42: | Line 42: | ||
| Definim o functie ne-negativa de potential $ \Phi : States -> ℕ $ | Definim o functie ne-negativa de potential $ \Phi : States -> ℕ $ | ||
| - | Notand costurile amortizate ale unei operatii arbitrare cu $ \hat(c_{i}) $ si costul sau real cu $ c_i $ , avem de aratat ca: \\ | + | Notand costurile amortizate ale unei operatii arbitrare cu $ \hat c_{i} $ si costul sau real cu $ c_i $ , avem de aratat ca: \\ |
| $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ | $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ | ||
| Line 57: | Line 57: | ||
| Calculam costul amortizat al fiecarei operatii:\\ | Calculam costul amortizat al fiecarei operatii:\\ | ||
| - | $ \hat(c_{push}) = c_{push} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{push} + (m + 1) - m = c_{push} + 1 = 1 + 1 = 2 $ \\ | + | $ \hat c_{push} = c_{push} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{push} + (m + 1) - m = c_{push} + 1 = 1 + 1 = 2 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{pop}) = c_{pop} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{pop} + (m - 1) - m = c_{pop} - 1 = 1 - 1 = 0 $ \\ | + | $ \hat c_{pop} = c_{pop} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{pop} + (m - 1) - m = c_{pop} - 1 = 1 - 1 = 0 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{mpop(k)}) = c_{mpop(k)} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{mpop(k)} + (m - k) - m = c_{mpop(k)} - k = k - k = 0 $ | + | $ \hat c_{mpop(k)} = c_{mpop(k)} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{mpop(k)} + (m - k) - m = c_{mpop(k)} - k = k - k = 0 $ |
| ==== 2. Heap ==== | ==== 2. Heap ==== | ||
| + | |||
| + | === 2.1. Aggregate Method === | ||
| + | |||
| + | Fie $ S $ o secventa de $ n $ inserari intr-un heap gol. Pentru a | ||
| + | simplifica analiza, dar fara a influenta rezultatul, vom presupune | ||
| + | ca $ n = 2^k $, $ k = log_2(n) $. | ||
| + | |||
| + | Pe nivelul 0 avem 1 nod (radacina) care necesita maxim 0 swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ | ||
| + | Pe nivelul 1 avem 2 noduri care necesita maxim 1 swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ | ||
| + | Pe nivelul 2 avem 4 noduri care necesita maxim 2 swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ | ||
| + | ... \\ | ||
| + | Pe nivelul k avem $ 2^k $ noduri care necesita maxim k swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ | ||
| + | |||
| + | Pentru a insera un nod in heap, avem nevoie de costul de inserare ($ 1 $) si costul de pozitionare prin swap cu parintii. | ||
| + | |||
| + | $ cost(S) = \sum_{i=1}^{n}{1} + \sum_{i=1}^{k}{nodes(i) * swaps(i)} = $ \\ | ||
| + | $ = n + \sum_{i=1}^{log_2(n)}{2^i * i} = $ \\ | ||
| + | https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+j%3D0+to+n+of+j+2%5Ej \\ | ||
| + | $ = n + 2(log_2(n) * 2^{log_2(n)} - 2^{log_2(n)} + 1) = $ \\ | ||
| + | $ = n + 2(log_2(n) * n - n + 1) = $ \\ | ||
| + | $ = n + 2 * log_2(n) * n - 2n + 2 = O(nlog(n)) $ | ||
| + | |||
| + | Deci, pentru o singura operatie de insert, avem $ cost(insert) = cost(S) / n = O(nlog(n)) / n = O(log(n)) $ | ||
| + | |||
| + | === 2.2. Accounting Method === | ||
| + | |||
| + | Pentru fiecare $ insert $, avem nevoie sa luam in considerare: | ||
| + | - costul de creare al unui nou nod = $ 1 $ | ||
| + | - swap cu parintii = $ log(n) $ | ||
| + | |||
| + | Alegem $ \hat c_{insert} = 1 + log(n) = O(log(n)) $ | ||
| + | |||
| + | Acest cost este mereu mai mare sau egal decat costul real al unei operatii, dat fiind ca nu toate operatiile au nevoie de $ log(n) $ swap-uri. | ||
| + | |||
| + | === 2.3. Potential Method === | ||
| + | |||
| + | Fie starile $ D_i $ = starea heap-ului dupa $ i $ operatii $ insert $ | ||
| + | |||
| + | Definim o functie ne-negativa de potential $ \Phi : States -> ℕ $ \\ | ||
| + | $ \Phi(D_0) = 0 $ \\ | ||
| + | $ \Phi(D_i) = $ numarul de valori in heap | ||
| + | |||
| + | Calculam costul amortizat: \\ | ||
| + | $ \hat{c_i} = c_{i} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{i} + 1 $ | ||
| + | |||
| + | $ c_{i} $ are un cost $ log(n) + 1 $ dat de numarul de swap-uri maxim + inserarea unui nod in heap. | ||
| + | |||
| + | Deci, putem alege $ \hat{c_i} = log(n) + 2 $ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==== 3. Binary Counter ==== | ||
| + | |||
| + | === 3.1. Aggregate method === | ||
| + | |||
| + | Bitul 0 se schimba la fiecare operatie. \\ | ||
| + | Bitul 1 se schimba la fiecare $ 2 $ operatii. \\ | ||
| + | Bitul 2 se schimba la fiecare $ 4 $ operatii. \\ | ||
| + | ...\\ | ||
| + | Bitul 2 se schimba la fiecare $ 2^k $ operatii. \\ | ||
| + | |||
| + | Intr-o secventa $ S $ de $ n $ operatii $ increment $, numarul total de modificari de biti este: \\ | ||
| + | $ cost(S) = n + n/2 + n/(2^2) + ... + n/(2^k) \leq n / (1 - 1/2) = 2n $ | ||
| + | |||
| + | Deci, costul amortizat al unei singure operatii de increment este: | ||
| + | |||
| + | $ cost(op) = cost(S) / n = 2n / n = 2 $ | ||
| + | |||
| + | === 3.2. Accounting method === | ||
| + | |||
| + | Costul real al unei operatii este numarul de biti modificati. | ||
| + | |||
| + | Costul amortizat trebuie sa contina: \\ | ||
| + | - o schimbare a unui bit din 0 in 1 | ||
| + | - o schimbare ulterioara a bitului din 1 in 0 | ||
| + | |||
| + | $ \hat c_{increment} = 2$ | ||
| + | |||
| === 3.3. Potential method === | === 3.3. Potential method === | ||
| Line 80: | Line 157: | ||
| Aratam ca $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ \\ | Aratam ca $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ \\ | ||
| - | $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} = 2n $ (am vazut mai devreme la metoda agregarii) \\ | + | $ \hat{c}_i = c_i + \Phi(F_i) - \Phi(F_{i-1}) => \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} = \sum_{i=1}^{n}{c_i + \Phi(F_i) - \Phi(F_{i-1})} = $ \\ |
| - | $ \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} = n * \hat{c_i} = 2n $ | + | $ = \sum_{i=1}^{n}{c_i} + \Phi(F_n) - \Phi(F_{0}) $ |
| + | |||
| + | $ \Phi(F_n) \geq \Phi(F_{0}) $ se intampla mereu pentru ca numarul de biti de 1 nu poate scadea sub $ 0 $, adica atatia biti $ 1 $ cat sunt in starea $ F_0 $ | ||