Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
|
aa:lab:sol:11 [2024/01/06 11:42] alexandra.udrescu01 |
aa:lab:sol:11 [2024/01/08 23:55] (current) stefan.sterea |
||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| ===== Analiza amortizata ===== | ===== Analiza amortizata ===== | ||
| - | + | ==== 1. Stack ==== | |
| - | ==== 1. FIFO ==== | + | |
| - | + | ||
| - | TODO | + | |
| - | + | ||
| - | ==== 2. Stack ==== | + | |
| Naiv: La un momnt dat pot fi k elemente in stack, deci cea mai costisitoare operatie va fi mpop cu complexitate temporala O(k). | Naiv: La un momnt dat pot fi k elemente in stack, deci cea mai costisitoare operatie va fi mpop cu complexitate temporala O(k). | ||
| Line 19: | Line 14: | ||
| - | === 2.1. Aggregate method === | + | === 1.1. Aggregate method === |
| $ pop $ si $ push $ au cost $ 1 $, $ mpop $ are cost $ k $. | $ pop $ si $ push $ au cost $ 1 $, $ mpop $ are cost $ k $. | ||
| Line 28: | Line 23: | ||
| $ cost(op) = cost(S) / k = (2k - 2) / k \leq 2 => cost(op) = 2 $ | $ cost(op) = cost(S) / k = (2k - 2) / k \leq 2 => cost(op) = 2 $ | ||
| - | === 2.2. Banking method === | + | === 1.2. Banking method === |
| Pentru fiecare operatie push, trebuie sa avem in vedere un viitor $ pop $ . | Pentru fiecare operatie push, trebuie sa avem in vedere un viitor $ pop $ . | ||
| Line 34: | Line 29: | ||
| Alegem: \\ | Alegem: \\ | ||
| - | $ \hat(c_{push}) = 2 $ \\ | + | $ \hat c_{push} = 2 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{pop}) = 0 $ \\ | + | $ \hat c_{pop} = 0 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{mpop}) = 0 $ | + | $ \hat c_{mpop} = 0 $ |
| Aratam ca: $ cost(S) \leq \sum_{i=1}^{n}\hat{c_i} $ . \\ | Aratam ca: $ cost(S) \leq \sum_{i=1}^{n}\hat{c_i} $ . \\ | ||
| Line 42: | Line 37: | ||
| $ \sum_{i=1}^{n}\hat{c_i} = 2 * (k-1) + 0 * 1 = 2k - 2 $ | $ \sum_{i=1}^{n}\hat{c_i} = 2 * (k-1) + 0 * 1 = 2k - 2 $ | ||
| - | === 2.3. Potential method === | + | === 1.3. Potential method === |
| Fie $ D_k $ starea dupa k operatii. Starea initiala cand stiva e goala este $ D_0 $ . | Fie $ D_k $ starea dupa k operatii. Starea initiala cand stiva e goala este $ D_0 $ . | ||
| Definim o functie ne-negativa de potential $ \Phi : States -> ℕ $ | Definim o functie ne-negativa de potential $ \Phi : States -> ℕ $ | ||
| - | Notand costurile amortizate ale unei operatii arbitrare cu $ \hat(c_{i}) $ si costul sau real cu $ c_i $ , avem de aratat ca: \\ | + | Notand costurile amortizate ale unei operatii arbitrare cu $ \hat c_{i} $ si costul sau real cu $ c_i $ , avem de aratat ca: \\ |
| $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ | $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ | ||
| Line 62: | Line 57: | ||
| Calculam costul amortizat al fiecarei operatii:\\ | Calculam costul amortizat al fiecarei operatii:\\ | ||
| - | $ \hat(c_{push}) = c_{push} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{push} + (m + 1) - m = c_{push} + 1 = 1 + 1 = 2 $ \\ | + | $ \hat c_{push} = c_{push} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{push} + (m + 1) - m = c_{push} + 1 = 1 + 1 = 2 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{pop}) = c_{pop} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{pop} + (m - 1) - m = c_{pop} - 1 = 1 - 1 = 0 $ \\ | + | $ \hat c_{pop} = c_{pop} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{pop} + (m - 1) - m = c_{pop} - 1 = 1 - 1 = 0 $ \\ |
| - | $ \hat(c_{mpop(k)}) = c_{mpop(k)} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{mpop(k)} + (m - k) - m = c_{mpop(k)} - k = k - k = 0 $ | + | $ \hat c_{mpop(k)} = c_{mpop(k)} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{mpop(k)} + (m - k) - m = c_{mpop(k)} - k = k - k = 0 $ |
| - | ==== 3. Heap ==== | + | ==== 2. Heap ==== |
| - | + | === 2.1. Aggregate Method === | |
| - | === 3.1. Aggregate Method === | + | |
| Fie $ S $ o secventa de $ n $ inserari intr-un heap gol. Pentru a | Fie $ S $ o secventa de $ n $ inserari intr-un heap gol. Pentru a | ||
| simplifica analiza, dar fara a influenta rezultatul, vom presupune | simplifica analiza, dar fara a influenta rezultatul, vom presupune | ||
| - | ca $ n = 2^k $. | + | ca $ n = 2^k $, $ k = log_2(n) $. |
| - | Pe nivelul $ log(n) $ avem 1 element. | + | Pe nivelul 0 avem 1 nod (radacina) care necesita maxim 0 swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ |
| - | ... | + | Pe nivelul 1 avem 2 noduri care necesita maxim 1 swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ |
| - | Pe nivelul 3 avem n/8 elemente. | + | Pe nivelul 2 avem 4 noduri care necesita maxim 2 swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ |
| - | Pe nivelul 2 avem n/4 elemente. | + | ... \\ |
| - | Pe nivelul 1 avem n/2 elemente. | + | Pe nivelul k avem $ 2^k $ noduri care necesita maxim k swap-uri pentru a ajunge pe pozitia corecta. \\ |
| - | Ca un nod sa ajunga de pe ultimul nivel | + | Pentru a insera un nod in heap, avem nevoie de costul de inserare ($ 1 $) si costul de pozitionare prin swap cu parintii. |
| - | (aici nivel $ 1 $ pentru a face calculele usoare) | + | |
| - | pana la unul din nivelele | + | |
| - | superioare, avem nevoie de: | + | |
| - | - nivel $ log(n) $ - $ log(n) - 1 $ swaps | + | |
| - | - ... | + | |
| - | - nivel $ 3 $ - $ 2 $ swaps | + | |
| - | - nivel $ 2 $ - $ 1 $ swaps | + | |
| - | - nivel $ 1 $ - $ 0 $ swaps | + | |
| - | Deci costul total pentru $ n $ inserari e format din costul de creare | + | $ cost(S) = \sum_{i=1}^{n}{1} + \sum_{i=1}^{k}{nodes(i) * swaps(i)} = $ \\ |
| - | al unui nou nod, $ 1 $ insumat cu numarul de swaps necesare pentru a | + | $ = n + \sum_{i=1}^{log_2(n)}{2^i * i} = $ \\ |
| - | aduce toate nodurile pe pozitiile actuale este: | + | https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+j%3D0+to+n+of+j+2%5Ej \\ |
| + | $ = n + 2(log_2(n) * 2^{log_2(n)} - 2^{log_2(n)} + 1) = $ \\ | ||
| + | $ = n + 2(log_2(n) * n - n + 1) = $ \\ | ||
| + | $ = n + 2 * log_2(n) * n - 2n + 2 = O(nlog(n)) $ | ||
| - | $ cost(S) = 1 * n + \sum_{i=1}^{log(n)}{nodes(i) * swaps(i)} = \\ | + | Deci, pentru o singura operatie de insert, avem $ cost(insert) = cost(S) / n = O(nlog(n)) / n = O(log(n)) $ |
| - | = n + \sum_{i=1}^{log(n)}{n/(2^i) * (i - 1)} = \\ | + | |
| - | \leq n + n \sum_{i=1}^{\infty}{(i - 1)/(2^i)} \\ | + | |
| - | \leq n + n = 2n $ | + | |
| - | (puteti folosi inductie pentru acea suma sau https://www.wolframalpha.com/input?i=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Binf%7D%7B%28i+-+1%29%2F%282%5Ei%29%7D+) | + | |
| - | Deci, costul uni singur insert este:\\ | + | === 2.2. Accounting Method === |
| - | $ cost(op) = cost(S) / n = 2 $ | + | |
| - | + | ||
| - | === 3.2. Accounting Method === | + | |
| Pentru fiecare $ insert $, avem nevoie sa luam in considerare: | Pentru fiecare $ insert $, avem nevoie sa luam in considerare: | ||
| - costul de creare al unui nou nod = $ 1 $ | - costul de creare al unui nou nod = $ 1 $ | ||
| - | - un potential swap cu parintele = $ 1 $ | + | - swap cu parintii = $ log(n) $ |
| + | |||
| + | Alegem $ \hat c_{insert} = 1 + log(n) = O(log(n)) $ | ||
| - | $ \hat(c_{insert}) = 2$ | + | Acest cost este mereu mai mare sau egal decat costul real al unei operatii, dat fiind ca nu toate operatiile au nevoie de $ log(n) $ swap-uri. |
| - | === 3.3. Potential Method === | + | === 2.3. Potential Method === |
| Fie starile $ D_i $ = starea heap-ului dupa $ i $ operatii $ insert $ | Fie starile $ D_i $ = starea heap-ului dupa $ i $ operatii $ insert $ | ||
| Line 120: | Line 104: | ||
| $ \Phi(D_i) = $ numarul de valori in heap | $ \Phi(D_i) = $ numarul de valori in heap | ||
| - | Calculam costul amortizat intr-un caz simplu, cand nodul nu trebuie | + | Calculam costul amortizat: \\ |
| - | interschimbat cu parintele: \\ | + | $ \hat{c_i} = c_{i} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = c_{i} + 1 $ |
| - | $ \hat{c_i} = c_{i} + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) = 1 + i - (i - 1) = 2 $ | + | |
| - | Aratam acum ca acest cost a fost ales corect, demonstrand inegalitatea \\ | + | $ c_{i} $ are un cost $ log(n) + 1 $ dat de numarul de swap-uri maxim + inserarea unui nod in heap. |
| - | $ sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ | + | |
| - | Am aratat anterior ca $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq 2n $, | + | Deci, putem alege $ \hat{c_i} = log(n) + 2 $ |
| - | iar $ \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} = 2n $. | + | |
| - | ==== 4. Binary Counter ==== | + | ==== 3. Binary Counter ==== |
| - | === 4.1. Aggregate method === | + | === 3.1. Aggregate method === |
| Bitul 0 se schimba la fiecare operatie. \\ | Bitul 0 se schimba la fiecare operatie. \\ | ||
| Line 148: | Line 129: | ||
| $ cost(op) = cost(S) / n = 2n / n = 2 $ | $ cost(op) = cost(S) / n = 2n / n = 2 $ | ||
| - | === 4.2. Accounting method === | + | === 3.2. Accounting method === |
| Costul real al unei operatii este numarul de biti modificati. | Costul real al unei operatii este numarul de biti modificati. | ||
| Line 156: | Line 137: | ||
| - o schimbare ulterioara a bitului din 1 in 0 | - o schimbare ulterioara a bitului din 1 in 0 | ||
| - | $ \hat(c_{increment}) = 2$ | + | $ \hat c_{increment} = 2$ |
| - | === 4.3. Potential method === | + | === 3.3. Potential method === |
| Line 176: | Line 157: | ||
| Aratam ca $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ \\ | Aratam ca $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} \leq \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} $ \\ | ||
| - | $ \sum_{i=1}^{n}{c_i} = 2n $ (am vazut mai devreme la metoda agregarii) \\ | + | $ \hat{c}_i = c_i + \Phi(F_i) - \Phi(F_{i-1}) => \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} = \sum_{i=1}^{n}{c_i + \Phi(F_i) - \Phi(F_{i-1})} = $ \\ |
| - | $ \sum_{i=1}^{n}{\hat{c_i}} = n * \hat{c_i} = 2n $ | + | $ = \sum_{i=1}^{n}{c_i} + \Phi(F_n) - \Phi(F_{0}) $ |
| + | |||
| + | $ \Phi(F_n) \geq \Phi(F_{0}) $ se intampla mereu pentru ca numarul de biti de 1 nu poate scadea sub $ 0 $, adica atatia biti $ 1 $ cat sunt in starea $ F_0 $ | ||