Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:9 [2023/12/10 15:26]
dmihai
+++ aa:lab:9 [2025/12/12 14:00] (current)
cezar.zlatea [Exerciții]
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== P, NP, NPC, NPH ======
+====== Arbori echilibrați ======
-. Reluați reducerile polinomiale neabordate din [[aa:lab:8|laboratorul anterior]].
+Pentru ca operațiile pe arbori de căutare să fie eficiente, este nevoie ca aceștia să fie **echilibrați**; i.e. să nu poată existe diferențe arbitrare între numărul de noduri dintre subarboriele stâng și subarborele drept.
+În cel mai rău caz, fiecare nod din arbore are un singur copil, ceea ce face arborele să fie de fapt o listă simplu înlănțuită.
-. Discutați următoarele propoziții:
+Prima idee de echilibrare analizată la curs este cea de a păstra arborele **semi-complet**.
+Un arbore semi-complet de înălțime $ h$ respectă următoarele proprietăți:
-  - dacă $ f \le_p g$ și $ g \le_p h$, atunci $ f \le_p h$
+  * la fiecare nivel $ i$ cu $1 \le i \le h - 1$ (i.e. "în afară de ultimul) se găsesc $ 2^i$ noduri.
-  - dacă $ f \in NP$ și $ g \le_p f$, atunci $ g \in NP$
+  * toate nodurile de pe nivelul $ h$ sunt aliniate la stânga
-  - dacă $ f \in P$ și $ g \le_p f$, atunci $ g \in NP$
-  - dacă $ f \in NPC$ și $ g \le_p f$, atunci $ g \in NPC$
+O astfel de condiție este perfectă pentru căutări eficiente în $ \Theta(\log n)$.
-  - dacă $ f \in NPH$ și $ g \le_p f$, atunci $ g \in NPC$
+Însă dacă folosim operații de inserare, trebuie să ne asigurăm că proprietatea este păstrată, iar reorganizarea acestui tip de arbore necesită $ O(n)$ operații (în cel mai rău caz, duce la reconstruirea arborelui).
-  - dacă $ f \in NPC$ și $ f \le_p g$, atunci $ g \in NPC$
-  - dacă $ f \in NPC$ și $ f \le_p g$, atunci $ g \in NPH$
+Putem însă aborda o definiție mai relaxată de echilibru: pentru fiecare nod din arbore cu copii $ l$ și $ r$, trebuie să țină condiția: $ \mid \mathrm{height(l)} - \mathrm{height}(r) \mid \le 1$ (dacă un nod nu are un anumit copil, îl putem considera $ \mathrm{Void}$ și $ \mathrm{height}(\mathrm{Void}) = 0$).
-  - dacă $ f \in NP$ și $ f \le_p g$, atunci $ g \in NPC$
-  - dacă $ f \in NP$ și $ f \le_p g$, atunci $ g \in NPH$
+Astfel, pentru reechilibrare, putem folosi rotații (stânga, dreapta, stânga-dreapta și dreapta-stânga) care reechilibrează arborele în timp constant.
-  - dacă $ f \le_p SAT$, atunci $ f \in NPC$
-  - dacă $ SAT \le_p f$, atunci $ f \in NPC$
+==== Exerciții ====
+. Scrieți axiomele pentru următorii operatori:
+  * $ \mathrm{height} : \mathrm{BTree} \to \mathrm{Int}$
+  * $ \mathrm{depth} : \mathrm{E} \times \mathrm{BTree} \to (\mathrm{N} \cup \{ \mathrm{ABSENT} \})$
+  * $ \mathrm{flatten} : \mathrm{BTree} \to \mathrm{List}$
+Conceptul de adâncime (depth) reprezintă distanța de la un nod până la rădăcină într-un arbore de căutare (de obicei măsurată în **muchii**, nu noduri; i.e. adâncimea rădăcinii 0).
+Avem nevoie să extindem codomeniul cu o valoare specială care să indice faptul că valoarea respectivă nu este prezentă în arborele de căutare.
+. Demonstrați că operația de $ \mathrm{rotate-right}$ prezentată la curs păstrează proprietatea $ \mathrm{isBinary}$.
+\(
+\mathrm{rotate\text{-}right}(\mathrm{Node}(x, \mathrm{Node}(y, t1, t2), t3)) = \mathrm{Node}(y, t1, \mathrm{Node}(x, t2,t3))
+\)
+. Calculați complexitatea operației $ \mathrm{balanced\_ins}$ studiată la curs.
+. Care este cel mai eficient mod de a construi un arbore binar de căutare dintr-o listă.
+. Definiți axiome pentru operațiile $ \mathrm{rotate\text{-}left}$ și $ \mathrm{rotate\text{-}right\text{-}left}$.