Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
Next revision 		Previous revision
aa:lab:8 [2025/12/01 12:52]
aureliu.antonie fix insert 		aa:lab:8 [2025/12/04 12:08] (current)
mihnea.gheorghe fix notation consistency
Line 8: Line 8:
 stă la baza multor algoritmi și structuri de date. stă la baza multor algoritmi și structuri de date.
  
-==== TDA Arbori Binari ==== +<​note>​ 
- +Reamintim definiția ​TDA-ului pentru un arbore binar abstract:
-Reamintim definiția ​unui arbore binar abstract:+
  
 \( \text{Nil}: \mathrm{BTree} \)\\ \( \text{Nil}: \mathrm{BTree} \)\\
Line 19: Line 18:
 Pentru simplitate vom folosi \(\mathbb{N}\),​ mulțimea numerelor naturale, însă putem lucra Pentru simplitate vom folosi \(\mathbb{N}\),​ mulțimea numerelor naturale, însă putem lucra
 cu orice mulțime peste care este definită o relație de ordine \(\le\). cu orice mulțime peste care este definită o relație de ordine \(\le\).
- +</​note>​
-----+
  
 ==== Definiția operatorului \(\mathrm{isBST}\) ==== ==== Definiția operatorului \(\mathrm{isBST}\) ====
Line 28: Line 26:
 \mathrm{isBSTBetween} : \mathrm{BTree} \times \overline{\mathbb{E}} \times \overline{\mathbb{E}} \to \mathrm{Bool} \\ \mathrm{isBSTBetween} : \mathrm{BTree} \times \overline{\mathbb{E}} \times \overline{\mathbb{E}} \to \mathrm{Bool} \\
 \mathrm{isBSTBetween}(\mathrm{Nil},​ lo, hi) = \text{true} \\ \mathrm{isBSTBetween}(\mathrm{Nil},​ lo, hi) = \text{true} \\
-\mathrm{isBSTBetween}(\mathrm{Node}(x,​l,​r),​ lo, hi) +\mathrm{isBSTBetween}(\mathrm{Node}(x,​l,​r),​ lo, hi) = (lo \le x \le hi)
-\;​\equiv\;​ +
-(lo \le x \le hi)+
 \;\land\; \;\land\;
 \mathrm{isBSTBetween}(l,​ lo, x) \mathrm{isBSTBetween}(l,​ lo, x)
Line 45: Line 41:
  
 ==== Exerciții ==== ==== Exerciții ====
-1. Scrieți definițiile și axiomele pentru următorii operatori: ​+1. Scrieți axiomele pentru următorii operatori: ​
  
   * $ {\mathrm{insert} : \mathbb{E} \times \mathrm{BTree} \to \mathrm{BTree} } $   * $ {\mathrm{insert} : \mathbb{E} \times \mathrm{BTree} \to \mathrm{BTree} } $
Line 51: Line 47:
   * $ {\mathrm{max} : \mathrm{BTree} \to \mathbb{E} } $   * $ {\mathrm{max} : \mathrm{BTree} \to \mathbb{E} } $
  
-2. Demonstrați (prin inducție structurală) că următoarele păstrează invariantul \(\mathrm{isBST}\):​+2. Completați fragmentul de cod Python pentru calculul drumului mediu în găsirea unui element x 
 +într-un Arbore Binar de Căutare construit pe baza operatorului $ {\mathrm{insert}} $ din exercițiul anterior: 
 + 
 +<file python bst_path.py>​ 
 +import random 
 + 
 +class Node: 
 +    def __init__(self,​ x): 
 +        self.x = x 
 +        self.left = None 
 +        self.right = None 
 + 
 +def insert(root,​ x): 
 +    # TODO: inserați x în arbore 
 +    pass 
 + 
 +def search_path_length(root,​ x): 
 +    # TODO: calculați lungimea drumului până la x 
 +    pass 
 + 
 +def average_search_path(n):​ 
 +    """​Construiește un BST dintr-o permutare aleatoare și măsoară media."""​ 
 +    perm = list(range(1,​ n + 1)) 
 +    random.shuffle(perm) 
 + 
 +    root = None 
 +    for x in perm: 
 +        root = insert(root,​ x) 
 + 
 +    lengths = [search_path_length(root,​ x) for x in perm] 
 +    return sum(lengths) / n 
 + 
 +def experiment(trials=2000,​ n=100): 
 +    total = 0 
 +    for _ in range(trials):​ 
 +        total += average_search_path(n) 
 +    return total / trials 
 + 
 +for n in [10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000]: 
 +    avg = experiment(trials=1000,​ n=n) 
 +    print(f"​n = {n} → lungime medie ≈ {avg:​.3f}"​) 
 +</​file>​ 
 + 
 +Rezultatul teoretic: 
 + 
 +\( 
 +E[L] = \tfrac{2 (n + 1)}{n} (H_{n+1} - 1) - 1 
 += \tfrac{2 (n + 1)}{n} (\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{n} + \tfrac{1}{n+1}) -1 
 +\) 
 + 
 +Cum ar putea fi îmbunătățit drumul mediu și care este acesta pentru un arbore echilibrat?​ 
 + 
 + 
 +3. Demonstrați (prin inducție structurală) că următoarele păstrează invariantul \(\mathrm{isBST}\):​
  
   * $ {\mathrm{insert}} $   * $ {\mathrm{insert}} $