Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:8 [2023/12/08 15:40]
dmihai
+++ aa:lab:8 [2025/12/04 12:08] (current)
mihnea.gheorghe fix notation consistency
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Reduceri polinomiale ======
+====== Arbori Binari de Căutare ======
-Reducerile polinomiale ne oferă posibilitatea de a utiliza un algoritm ce rezolvă o problemă pentru o altă problemă fără a-i crește complexitatea (adăugând overhead cel mult polinomial).
+Un **arbore binar de căutare (BST)** este o structură de date arborescentă în care,
+pentru orice nod de valoare \(x\), toate valorile din subarborele stâng sunt
+\(< x\), iar toate din cel drept sunt \(> x\). În cadrul acestui laborator vom
+pune inegalitatea parțială pe subarborele stâng (\(\le x\)). Această
+proprietate permite căutări eficiente, în medie în timp \(O(\log n)\), și
+stă la baza multor algoritmi și structuri de date.
-Reducerea polinomială reprezină o relație între două probleme $ f$ și $ g$, notată $ f \leq_p g$ (citim "f se reduce (în timp) polinomial la g") și înseamnă că putem găsi o transformare computabilă în timp polinomial care transformă input-urile problemei $ f$ în input-uri ale problemei $ g$ în așa fel încât output-urile să fie egale. Adică
+<note>
-$$ f \leq_p g \iff \exists t \text{ computabilă în timp polinomial}: \forall i, f(i) = g(t(i))$$
+Reamintim definiția TDA-ului pentru un arbore binar abstract:
-====== Exerciții ======
+\( \text{Nil}: \mathrm{BTree} \)\\
-Realizați următoarele reduceri polinomiale:
+\( \text{Node}: \mathbb{E} \times \mathrm{BTree} \times \mathrm{BTree} \to \mathrm{BTree} \)
-  * $ {\rm Partioning} \le_p {\rm SubsetSum}$
-  * $ {\rm SubsetSum} \le_p {\rm Partioning}$
-  * $ {\rm HamiltonianCycle} \le_p {\rm HamiltonianPath}$
-  * $ {\rm GraphUnreachability} \le_p {\rm 2SAT}$ unde $ {\rm GraphUnreachability}$ intreaba daca NU exista nici un drum intre doua noduri $ s$ si $ t$ intr-un graf $ G$
-  * $ {\rm 3SAT} \le_p {\rm kVertexCover}$
-<note>
+unde \(\mathbb{E}\) este o [[https://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set|mulțime parțial ordonată]].
-Soluțiile acestui laborator se găsesc [[https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:7|aici]]
+Pentru simplitate vom folosi \(\mathbb{N}\), mulțimea numerelor naturale, însă putem lucra
+cu orice mulțime peste care este definită o relație de ordine \(\le\).
 </note>
+==== Definiția operatorului \(\mathrm{isBST}\) ====
+\( \mathrm{isBST} : \mathrm{BTree} \to \mathrm{Bool} \\
+\mathrm{isBST}(t) = \mathrm{isBSTBetween}(t, -\infty, +\infty) \\
+\mathrm{isBSTBetween} : \mathrm{BTree} \times \overline{\mathbb{E}} \times \overline{\mathbb{E}} \to \mathrm{Bool} \\
+\mathrm{isBSTBetween}(\mathrm{Nil}, lo, hi) = \text{true} \\
+\mathrm{isBSTBetween}(\mathrm{Node}(x,l,r), lo, hi) = (lo \le x \le hi)
+\;\land\;
+\mathrm{isBSTBetween}(l, lo, x)
+\;\land\;
+\mathrm{isBSTBetween}(r, x, hi). \)
+unde \(\overline{\mathbb{E}} = \mathbb{E} \cup \{-\infty, +\infty\}\).
+Elementele \(-\infty\) și \(+\infty\) extind domeniul astfel încât:
+\( -\infty < x < +\infty,\forall x \in \mathbb{E}. \)
+==== Exerciții ====
+. Scrieți axiomele pentru următorii operatori:
+  * $ {\mathrm{insert} : \mathbb{E} \times \mathrm{BTree} \to \mathrm{BTree} } $
+  * $ {\mathrm{min} : \mathrm{BTree} \to \mathbb{E} } $
+  * $ {\mathrm{max} : \mathrm{BTree} \to \mathbb{E} } $
+. Completați fragmentul de cod Python pentru calculul drumului mediu în găsirea unui element x
+într-un Arbore Binar de Căutare construit pe baza operatorului $ {\mathrm{insert}} $ din exercițiul anterior:
+<file python bst_path.py>
+import random
+class Node:
+    def __init__(self, x):
+        self.x = x
+        self.left = None
+        self.right = None
+def insert(root, x):
+    # TODO: inserați x în arbore
+    pass
+def search_path_length(root, x):
+    # TODO: calculați lungimea drumului până la x
+    pass
+def average_search_path(n):
+    """Construiește un BST dintr-o permutare aleatoare și măsoară media."""
+    perm = list(range(1, n + 1))
+    random.shuffle(perm)
+    root = None
+    for x in perm:
+        root = insert(root, x)
+    lengths = [search_path_length(root, x) for x in perm]
+    return sum(lengths) / n
+def experiment(trials=2000, n=100):
+    total = 0
+    for _ in range(trials):
+        total += average_search_path(n)
+    return total / trials
+for n in [10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000]:
+    avg = experiment(trials=1000, n=n)
+    print(f"n = {n} → lungime medie ≈ {avg:.3f}")
+</file>
+Rezultatul teoretic:
+\(
+E[L] = \tfrac{2 (n + 1)}{n} (H_{n+1} - 1) - 1
+= \tfrac{2 (n + 1)}{n} (\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{n} + \tfrac{1}{n+1}) -1
+\)
+Cum ar putea fi îmbunătățit drumul mediu și care este acesta pentru un arbore echilibrat?
+. Demonstrați (prin inducție structurală) că următoarele păstrează invariantul \(\mathrm{isBST}\):
+  * $ {\mathrm{insert}} $
+  * $ {\mathrm{delete}} $
+<note>
+Soluțiile acestui laborator se găsesc [[https://ocw.cs.pub.ro/ppcarte/doku.php?id=aa:lab:sol:8|aici]]
+</note>