Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:6 [2025/11/06 20:36]
stefan.sterea
+++ aa:lab:6 [2025/11/11 08:02] (current)
stefan.sterea
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ====== Recurențe ======
-. Identificați formula de recurență pentru numărul de pași elementari ai următoarelor programe și calculați complexitatea algoritmilor folosind metoda arborilor și metoda substituției.
+. Identificați formula de recurență pentru numărul de pași elementari pentru functiile binary_search si successor de mai jos și calculați complexitatea algoritmilor folosind metoda arborilor și metoda substituției.
 <code C>
@@ Line 13: / Line 13: @@
     if (x < arr[m]) {
-        return binary_search(arr, start, m, x);
+        return binary_search(arr, start, m - 1, x);
     } else {
-        return binary_search(arr, m, end, x);
+        return binary_search(arr, m + 1, end, x);
     }
+}
+</code>
+<code C>
+// Fie urmatoarea structura de date (van Emde Boas tree) care retine un set de
+// numere intregi din intervalul [0, u-1], unde u este de forma 2^(2^k)
+typedef struct vEB {
+    int u, sqrt_u; // u si √u pentru intervalul [0, u-1]
+    struct vEB **clusters; // √u sub-intervale de dimensiune √u
+    struct vEB *summary; // retine daca sub-intervalele sunt vide
+    int min, max; // minimul si maximul din interval
+} vEB;
+int low(vEB *V, int x) { return x % V->sqrt_u; }   // indicele lui x in cadrul sub-intervalului
+int high(vEB *V, int x) { return x / V->sqrt_u; }  // indicele sub-intervalului din care face parte x
+int index(vEB *V, int hi, int lo) { return hi * V->sqrt_u + lo; }
+int successor(vEB *V, int x) {
+    if (V->u == 2)
+        return (x == 0 && V->max == 1) ? 1 : -1;
+    int i = high(V, x);
+    int j = low(V, x);
+    if (j < V->clusters[i]->max) {
+        j = successor(V->clusters[i], j);
+    } else {
+        i = successor(V->summary, i);
+        j = V->clusters[i]->min;
+    }
+    return index(V, i, j);
 }
 </code>
-. Teorema Master:
+=== Teorema Master ===
 <note>
 Fie o formulă de recurență de forma \\
-$ T(n) = a\ T\left(\frac n b\right) + f(n), \hspace{1em} a \geq 1, b \ge 1 $ \\
+$ T(n) = a\ T\left(\frac n b\right) + f(n), \hspace{1em} a \geq 1, b > 1 $ \\
 și fie $ d = \log_b a $. \\
 În funcție de $ f $ avem următoarele cazuri:
   * $ f(n) = {\rm O}\left(n^c\right),\ c < d \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} T(n) = \Theta\left(n^d\right)$
   * $ f(n) = \Theta\left(n^d \log^k n\right),\ k \geq 0 \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} T(n) = \Theta\left(n^d \log^{k+1} n\right) $
-  * $ f(n) = \Omega\left(n^c\right),\ c > d\ \text{ și }\ \exists(k < 1)(N \geq 0): \forall (n \geq N): af\left(\frac n b\right) \leq kf(n) \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} T(n) = \Theta(f(n)) $
+  * $ f(n) = \Omega\left(n^c\right),\ c > d\ \text{ și }\\ \exists(k < 1)(N \geq 0): \forall (n \geq N): af\left(\frac n b\right) \leq kf(n) \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} T(n) = \Theta(f(n)) $
 În particular, ultima condiție de la ultima regulă este automat satisfacută dacă $ f(n) = \Theta(n^c) $
 </note>
-Folosiți Teorema Master pentru a rezolva următoarele recurențe:
+. Folosiți Teorema Master pentru a rezolva următoarele recurențe:
   * $ T(n) = 4 T(n/4) + 1 $
   * $ T(n) = 4 T(n/2) + n^2 $
-  * $ T(n) = \frac{8 T(2n/3)}{27} + n^3 \log^2 n + n^2 $
+  * $ T(n) = \frac{27 T(2n/3)}{8} + n^3 \log^2 n + n^2 $
   * $ T(n) = 8 T(n/2) + 2n^4 $
   * $ T(n) = 16 T(n/4) + n^3 \sqrt{n} $