Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
|
aa:lab:6 [2025/11/06 19:55] stefan.sterea |
aa:lab:6 [2025/11/11 08:02] (current) stefan.sterea |
||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| ====== Recurențe ====== | ====== Recurențe ====== | ||
| - | 1. Identificați formula de recurență pentru numărul de pași elementari ai următoarelor programe și calculați complexitatea algoritmilor folosind metoda arborilor și metoda substituției. | + | 1. Identificați formula de recurență pentru numărul de pași elementari pentru functiile binary_search si successor de mai jos și calculați complexitatea algoritmilor folosind metoda arborilor și metoda substituției. |
| <code C> | <code C> | ||
| Line 13: | Line 13: | ||
| if (x < arr[m]) { | if (x < arr[m]) { | ||
| - | return binary_search(arr, start, m, x); | + | return binary_search(arr, start, m - 1, x); |
| } else { | } else { | ||
| - | return binary_search(arr, m, end, x); | + | return binary_search(arr, m + 1, end, x); |
| } | } | ||
| } | } | ||
| </code> | </code> | ||
| + | <code C> | ||
| + | // Fie urmatoarea structura de date (van Emde Boas tree) care retine un set de | ||
| + | // numere intregi din intervalul [0, u-1], unde u este de forma 2^(2^k) | ||
| + | typedef struct vEB { | ||
| + | int u, sqrt_u; // u si √u pentru intervalul [0, u-1] | ||
| + | struct vEB **clusters; // √u sub-intervale de dimensiune √u | ||
| + | struct vEB *summary; // retine daca sub-intervalele sunt vide | ||
| + | int min, max; // minimul si maximul din interval | ||
| + | } vEB; | ||
| - | 2. Teorema Master: | + | int low(vEB *V, int x) { return x % V->sqrt_u; } // indicele lui x in cadrul sub-intervalului |
| + | int high(vEB *V, int x) { return x / V->sqrt_u; } // indicele sub-intervalului din care face parte x | ||
| + | int index(vEB *V, int hi, int lo) { return hi * V->sqrt_u + lo; } | ||
| + | |||
| + | int successor(vEB *V, int x) { | ||
| + | if (V->u == 2) | ||
| + | return (x == 0 && V->max == 1) ? 1 : -1; | ||
| + | int i = high(V, x); | ||
| + | int j = low(V, x); | ||
| + | if (j < V->clusters[i]->max) { | ||
| + | j = successor(V->clusters[i], j); | ||
| + | } else { | ||
| + | i = successor(V->summary, i); | ||
| + | j = V->clusters[i]->min; | ||
| + | } | ||
| + | return index(V, i, j); | ||
| + | } | ||
| + | </code> | ||
| + | |||
| + | === Teorema Master === | ||
| <note> | <note> | ||
| - | Fie o formulă de recurență de forma | + | Fie o formulă de recurență de forma \\ |
| - | $$ T(n) = a\ T\left(\frac n b\right) + f(n), \hspace{1em} a \geq 1, b \ge 1 $$ | + | $ T(n) = a\ T\left(\frac n b\right) + f(n), \hspace{1em} a \geq 1, b > 1 $ \\ |
| + | și fie $ d = \log_b a $. \\ | ||
| + | În funcție de $ f $ avem următoarele cazuri: | ||
| + | * $ f(n) = {\rm O}\left(n^c\right),\ c < d \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} T(n) = \Theta\left(n^d\right)$ | ||
| + | * $ f(n) = \Theta\left(n^d \log^k n\right),\ k \geq 0 \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} T(n) = \Theta\left(n^d \log^{k+1} n\right) $ | ||
| + | * $ f(n) = \Omega\left(n^c\right),\ c > d\ \text{ și }\\ \exists(k < 1)(N \geq 0): \forall (n \geq N): af\left(\frac n b\right) \leq kf(n) \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} T(n) = \Theta(f(n)) $ | ||
| + | În particular, ultima condiție de la ultima regulă este automat satisfacută dacă $ f(n) = \Theta(n^c) $ | ||
| </note> | </note> | ||
| + | |||
| + | 2. Folosiți Teorema Master pentru a rezolva următoarele recurențe: | ||
| + | * $ T(n) = 4 T(n/4) + 1 $ | ||
| + | * $ T(n) = 4 T(n/2) + n^2 $ | ||
| + | * $ T(n) = \frac{27 T(2n/3)}{8} + n^3 \log^2 n + n^2 $ | ||
| + | * $ T(n) = 8 T(n/2) + 2n^4 $ | ||
| + | * $ T(n) = 16 T(n/4) + n^3 \sqrt{n} $ | ||