Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:5 [2024/11/07 13:32]
dmihai
+++ aa:lab:5 [2025/11/01 11:48] (current)
codrut_eduard.bicu
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Notații asimptotice ======
+===== Analiza Probabilistă în Hashing =====
+În acest laborator vom explora comportamentul probabilist al hashing-ului și fenomenele care apar din cauza coliziunilor.
+Vom lucra pe două exemple simple care ilustrează concepte teoretice importante:
+  * **Paradoxul zilelor de naștere** — probabilitatea unei coliziuni într-un spațiu finit de valori;
+  * **Problema colecționarului de cupoane** — timpul așteptat până acoperim toate cazurile posibile.
-$ \Theta(f(n)) = \{ g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\ |\
+----
-\begin{array}{l}
-\exists c_1, c_2 \in \mathbb{R}^+\cr
-\exists n_0 \in \mathbb{N}
-\end{array}\
-such\ that\ \forall\ n \ge n_0,\ \ c_1f(n) \le g(n) \le c_2f(n) \}$
-{{:aa:lab:theta_fn.png|}}
+==== Context ====
-$ O(f(n)) = \{ g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\ |\
+În hashing, fiecare element este atribuit aleatoriu unui dintre cele ( k ) sloturi.
-\begin{array}{l}
+Problemele pe care le studiem astăzi au aplicații directe în analiza performanței tabelelor hash.
-\exists c \in \mathbb{R}^+\cr
-\exists n_0 \in \mathbb{N}
-\end{array}\
-such\ that\ \forall\ n \ge n_0,\ \
-\le g(n) \le cf(n) \}$
-{{:aa:lab:o_fn.png|}}
+----
-$ \Omega(f(n)) = \{ g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\ |\
+=== Exemplul 1: Paradoxul zilelor de naștere ===
-\begin{array}{l}
-\exists c \in \mathbb{R}^+\cr
-\exists n_0 \in \mathbb{N}
-\end{array}\
-such\ that\ \forall\ n \ge n_0,\ \
-\le cf(n) \le g(n) \}$
-{{:aa:lab:omega_fn.png|}}
+Scenariu: avem ( n ) persoane și ( k = 365 ) zile posibile.
+Dorim să aflăm probabilitatea ca cel puțin două persoane să aibă aceeași zi de naștere.
-$ o(f(n)) = \{ g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\ |\
+Formula teoretică este:
-\begin{array}{l}
-\forall c \in \mathbb{R}^+\cr
-\exists n_0 \in \mathbb{N}
-\end{array}\
-such\ that\ \forall\ n \ge n_0,\ \
-\le g(n) \le cf(n) \}$
-$ \omega(f(n)) = \{ g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\ |\
+$$
-\begin{array}{l}
+P(\text{coliziune}) = 1 - \frac{k!}{(k-n)! \, k^n}
-\forall c \in \mathbb{R}^+\cr
+$$
-\exists n_0 \in \mathbb{N}
-\end{array}\
-such\ that\ \forall\ n \ge n_0,\ \
-\le cf(n) \le g(n) \}$
-===== Syntactic sugars ======
+Codul de mai jos simulează fenomenul:
-Notațiile asimptotice sunt adesea folosite pentru a ne referi la funcții arbitrare cu o anumită creștere. Pentru simplitate, putem scrie //expresii aritmetice// astfel:
+<file python paradoxul_nasterilor.py>
+import random
-$ f(n) = \Theta(n) + O(\log(n)) $
+def paradox_zile_nastere(trials=10000, grup=23, zile=365):
+    """Estimează probabilitatea ca două persoane să aibă aceeași zi de naștere."""
+    count = 0
+    for _ in range(trials):
+        zile_aleatoare = [random.randint(1, zile) for _ in range(grup)]
+        if len(zile_aleatoare) != len(set(zile_aleatoare)):
+            count += 1
+    return count / trials
-Care trebuie citită: $math[\exists g \in \Theta(n)] și $math[\exists h \in O(\log(n))] a.î. $math[f(n) = g(n) + h(n),\ \forall n \in \mathbb{R}^{+}].
+for n in [10, 20, 23, 30, 40, 50]:
+    p = paradox_zile_nastere(grup=n)
+    print(f"Grup de {n} persoane → Probabilitate ≈ {p:.3f}")
+</file>
-Putem de asemenea scrie //ecuații//:
+**Întrebări:**
+. Pentru ce valoare a lui ( n ) probabilitatea depășește 0.5?
+. Cum se aseamănă acest fenomen cu coliziunile dintr-o tabelă hash?
-$ \Theta(n^2) = O(n^2) + o(n)$
+----
-Care ar trebui citite: $math[\forall f \in \Theta(n^2),\ \exists g \in O(n^2)] și $math[\exists h \in o(n)] a.î. $math[f(n) = g(n) + h(n),\ \forall n \in \mathbb{R}^{+}].
+=== Exemplul 2: Problema colecționarului de cupoane ===
-Observați că ecuațiile nu sunt simetrice și ar trebui citite de la stânga la dreapta. De exemplu:
+Scenariu: avem ( n ) cupoane distincte.
+La fiecare pas tragem unul aleator (uniform).
+Dorim să aflăm câte extrageri sunt necesare în medie până le avem pe toate.
-$\Theta(n) = O(n)$
+Rezultatul teoretic:
+$$
+E[T] = n H_n = n(1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{n})
+$$
-Deși e adevărat că, pentru orice funcție $math[\Theta(n)] există o funcție egală în $math[O(n)], putem vedea că există funcții în $math[O(n)] pentru care nu există niciun corespondent în $math[\Theta(n)].
+Simulare:
-Ca regulă, fiecare notație asimptotică din stânga unui egal, ar trebui citită ca o funcție **cuantificată universal** ($math[\forall f]) din acea clasă, iar fiecare notație asimptotică din dreapta unui egal ar trebui citită ca o funcție **cuantificată existențial**  ($math[\exists g]) din clasa respectivă.
+<file python cupoane.py>
+import random
-$\left(\frac{\omega(n^2)}{\Theta(n)}\right) = \Omega(n) + o(n)$
+def colector_cupoane(n, incercari=500):
+    """Returnează numărul mediu de extrageri până la colectarea tuturor cupoanelor."""
+    total = 0
+    for _ in range(incercari):
+        colectate = set()
+        pasi = 0
+        while len(colectate) < n:
+            colectate.add(random.randint(0, n-1))
+            pasi += 1
+        total += pasi
+    return total / incercari
-$math[\forall f \in \omega(n^2)\ and\
+for n in [10, 50, 100]:
- \forall g \in \Theta(n),\ \exists h \in \Omega(n)] și $math[\exists j \in o(n)]  a.î.
+    estimat = colector_cupoane(n)
-$math[\left(\frac{f(n)}{g(n)}\right) =
+    print(f"n = {n}: medie ≈ {estimat:.2f}")
-h
+</file>
-(n) + j(n),\ \forall n \in \mathbb{R}^{+}]
+**Întrebări:**
+. Cum crește numărul așteptat de extrageri odată cu ( n )?
+. Ce analogie există între această problemă și procesul de „umplere” a tuturor sloturilor într-o tabelă hash?
-===== Exerciții =====
+----
-<note>
-În continuare, aveti un {{:aa:lab:cheetsheet-lab05.pdf|}} pentru a va ajuta la rezolvări.
-</note>
-. Dați exemple de câte o funcție din următoarele clase de complexitate:
+==== Rezumat ====
-  * $ O(n)$
-  * $ \Omega(log(n))$
-  * $ \Theta(n^2)$
-  * $ \omega(\frac{1}{n})$
-  * $ o(3^n)$
-. Pentru fiecare din perechile de mai jos, dați un exemplu concret de constante pentru care inegalitățile implicate în definiția clasei de complexitate sunt adevărate:
-  * $ log(n) \in o(\sqrt n)$
-  * $ 100n^2 \in O(2^n)$
-  * $ 0.001n^3 \in \Omega(20 \sqrt n)$
-  * $ 10n \in \Theta(n)$
-  * $ n \in \Theta(10n)$
-. Găsiți două funcții $ f$ și $ g$, astfel încât:
-  * $ f(n) = O(g^2(n))$
-  * $ f(n) = \omega(\log(g(n)))$
-  * $ f(n) = \Omega(f(n)\cdot g(n))$
-  * $ f(n) = \Theta(g(n)) + \Omega(g^2(n))$
-. Verificați valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
-  * $ \sqrt{n} \in O(\log{n})$
-  * $ \log{n} \in O(\log{(\log{n})})$
-  * $ n \in O(\sqrt{n}\cdot\log{n})$
-  * $ n + \log{n} \in \Theta(n)$
-  * $ \log{(n\cdot \log{n})}\in\Theta(\log{n})$
-  * $ \sqrt{n}\in\omega(\log{n})$
-==== Exerciții - syntactic sugars ====
-. Aduceți următoarele la o formă simplă (o clasă de complexitate ce depinde de o anume funcție):
-  * $ \frac{O(n\sqrt{n})}{\Theta(n)} = \ldots$
-  * $ \frac{\Theta(n)}{O(\log(n))} = \ldots$
-. Demonstrați/infirmați următoarele propoziții:
-  * $ f(n) = \Omega(\log(n)) \land g(n)=O(n) \implies f(n)=\Omega(\log(g(n))$
-  * $ f(n) = \Omega(\log(n)) \land g(n)=O(n) \implies f(n)=\Theta(\log(g(n))$
-  * $ f(n) = \Omega(g(n)) \land g(n)=O(n^2) \implies \frac{g(n)}{f(n)}=O(n)$
+  * Hashing-ul se poate analiza folosind concepte probabiliste simple.
+  * Paradoxul zilelor de naștere arată cât de rapid apar coliziunile.
+  * Problema colecționarului de cupoane arată cât de lent se „umple” complet un spațiu finit.