Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:3 [2023/10/22 13:36]
ioana.dabelea
+++ aa:lab:3 [2024/10/31 20:08] (current)
stefan.sterea [Exerciții]
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Reduceri Turing ======
+====== Reduceri ======
-/*
-<hidden>
+Reducerile sunt o unealtă folositoare pentru a demonstra (ne)decidabilitatea/acceptabilitatea unor probleme. Vom folosi în mod predominant reducerile pentru a demonstra prin absurd că o problemă nouă $ f$ nu este decidabilă, atfel:
-<note important>
-Solutii: https://drive.google.com/file/d/1RUCQaVsHkMbFLBojUJ7ok5gy5Mq6-ce8/view?usp=sharing
-</note>
-</hidden>
-*/
-Reducerile Turing sunt o unealtă folositoare pentru a demonstra (ne)decidabilitatea/acceptabilitatea unor probleme. Vom folosi în mod predominant reducerile pentru a demonstra prin absurd că o problemă nouă $ f$ nu este decidabilă, atfel:
   * presupunem că $ f$ e decidabilă, deci există o mașină $ M_f$ care o decide
@@ Line 24: / Line 18: @@
   * $ f_{111}(M) = TRUE \iff  M[111] \rightarrow TRUE$
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{111}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{111}$:
-$ M, w \to t \to M^*$
-După ce am găsit asta,  mai ramane de demonstrat doar: $ f_{h}(M, w) = TRUE \iff f_{111}(M^*) = TRUE$
-$ M^*(x):$
-<code>
-   run M[w]
-   return x == 111
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{vom returna x == 111} \Rightarrow \text{când x este 111}, M^* \text{va tranziţiona în Y} => M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$
-  - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$.
-</hidden>
   * $ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{p}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{p}$:
-$ M, w \to t \to M^*$
-$ M^*(x):$
-<code>
-   run M[w]
-   check if x is palindrome
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa verificăm dacă x este palindrom} \Rightarrow \text{când x este palindrom}, M^* \text{va tranziţiona în Y}  \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$
-  - $ f_{p}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{decide daca x este palindrom } \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$.
-</hidden>
   * $ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{rev}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{rev}$:
-$ M, w \to t \to M^*$
-$ M^*(x):$
-<code>
-   run M[w]
-   return rev(x)
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa calculeze rev(x) deoarece ajunge la return} \Rightarrow f_{rev}(M^*) = TRUE$
-  - $ f_{rev}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{calculeaza rev(x) } \forall x \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{rev}$.
-</hidden>
   * $ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{own}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{own}$:
-$ M, w \to t \to M^*$
-$ M^*(x):$
-<code>
-   if x == enc(M*):
-     run M[w]
-   else:
-     nu se termină
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow f_{own}(M^*) = TRUE$
-  - $ f_{own}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[enc(M^*)] \text{se termina} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{own}$.
-</hidden>
   * $ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{finite}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{finite}$:
-$ M, w \to t \to M^*$
-$ M^*(x):$
-<code>
-   run M[w] pentru maxim |x| paşi
-    dacă M[w] s-a oprit:
-     nu se termina
-    else:
-     se termina
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{ se termină in n paşi} \Rightarrow M^*[w] \text{se opreşte } \forall x \text{, |x| < n}, \text{ciclează } \forall x \text{, |x| >= n} \Rightarrow f_{finite}(M^*) = TRUE$
-  - $ f_{finite}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ se opreşte după un număr finit de cuvinte }\Rightarrow \text{M[w] s-a oprit după un număr finit de paşi} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{finite}$.
-</hidden>
   * $ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{set}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{set}$:
-$ M, w \to t \to A, M^*$
-A = {101}
-$ M^*(x):$
-<code>
-   if x is in A:
-    run M[w]
-   else:
-    nu se termină
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{se poate opri doar pentru x = 101} \Rightarrow f_{set}(A, M^*) = TRUE$
-  - $ f_{set}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{o să se oprească pentru orice x din A} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{set}$.
-</hidden>
   * $ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{x}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{x}$:
-$ M, w \to t \to M^*$
-$ M^*(x):$
-<code>
-   run M[w]
-   print x
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{cum } M^* \text{printează x la final} \Rightarrow f_{x}(M^*) = TRUE$
-  - $ f_{x}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{ajunge să printeze x pe bandă} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{x}$.
-</hidden>
   * $ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff  \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie nu se termină) pentru orice cuvânt.
-<hidden>
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{eq}$.
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{eq}$:
-$ M, w \to t \to M_{1}, M_{2}$
-$ M_{1}[x]: $
-<code>
- acceptă
-</code>
-$ M_{2}[x]: $
-<code>
-   run M[w]
-   acceptă
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x, iar } M_{1}[x] \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
-  - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow \text{stim din construcţie că} M_{1} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{acceptă orice x} \Rightarrow M[w] \text{se opreşte} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{eq}$.
-</hidden>
 <note tip>
 În continuare, problemele $ f_{all}$ și $ f_{any}$ sunt cunoscute ca nedecidabile:
@@ Line 200: / Line 41: @@
   * $ f_{all} \le_m f_{eq}$
-<hidden>
-$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
-Trebuie să construim o transformare t, astfel încât să obţinem 2 maşini cu acelaşi comportament doar dacă M[w] se opreşte **pentru orice** w
-$ M_{1}[x]: $
-<code>
- acceptă
-</code>
-$ M_{2}[x]: $
-<code>
-   run M[x]
-   acceptă
-</code>
-**Atenţie** acest exercitiu are transformarea diferită faţă de exerciţiul 1, subpunctul 8.
-Demonstraţii:
-  - $ f_{all}(M) = M \Rightarrow \forall x, M[x] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
-  - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M[x] \text{se opreşte pentru orice x} \Rightarrow f_{all}(M, w) = TRUE$
-</hidden>
   * $ f_{any} \le_m f_{eq}$
-<hidden>
-$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
-$ M_{1}[x]: $
-<code>
- acceptă
-</code>
-$ M_{2}[x]: $
-<code>
-   k = 1
-   inputs = [0]
-   while true {
-    for w in inputs:
-     step(M[w]) // rulam o singura tranzitie
-     if(M[w] s-a oprit)
-      accepta
-    k++
-    inputs.append(k)
-   }
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{any}(M) = M \Rightarrow \exists w, M[w] \text{se termină} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
-  - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow \exists w \text{ astfel încât } M[w] \text{ se opreşte} \Rightarrow f_{any}(M, w) = TRUE$
-</hidden>
   * $ f_{p} \le_m f_{eq}$
-<hidden>
-$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
-$ M_{1}[x]: $
-<code>
- acceptă
-</code>
-$ M_{2}[x]: $
-<code>
-   run M[x]
-   if M decide corect daca x este palindrom:
-    accepta
-   else:
-    nu accepta
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{p} = TRUE \Rightarrow \forall x M \text{decide daca e palindrom} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
-  - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M \text{ decide corect dacă x este palindrom} \Rightarrow f_{p} = TRUE$
-</hidden>
   * $ f_{own} \le_m  f_{eq}$
-<hidden>
-$ M \to t \to M_{1}, M_{2}$
-$ M_{1}[x]: $
-<code>
- acceptă
-</code>
-$ M_{2}[x]: $
-<code>
-   if x == enc(M):
-    run M[x]
-   accepta
-</code>
-Demonstraţii:
-  - $ f_{own} = TRUE \Rightarrow M[enc(M)] \text{ se termină} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x, iar} M_{1} \text{deja acceptă orice x din construcţie} \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \Rightarrow f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE$
-  - $ f_{eq}(M_{1}, M_{2}) = TRUE \Rightarrow M_1[w] \equiv M_2[w] \text{, ştim din construcţie că } M_{1} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M_{2} \text{ acceptă orice x} \Rightarrow M[enc(M)] \text{ se termină} \Rightarrow f_{own} = TRUE$
-</hidden>
 <note tip>
 Dacă $ t_{1}$ şi $ t_{2}$ sunt două funcţii computabile $ \Rightarrow t = t_{1} \circ t_{2} $ este computabilă.
@@ Line 296: / Line 53: @@
 . Demonstrați că relația $ \le_m$ e reflexivă și tranzitivă.
-<hidden>
-Demonstrăm că $ \le_m$ e reflexivă
-Fie o problemă $ f$ şi o transformare $ t: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*, t(w) = w$
+<note tip>
+Soluțiile acestui laborator se găsesc [[aa:lab:sol:3|aici]]
-$ f(w) = True \iff f(t(w)) = TRUE$ deci $ f \le_m f$
+</note>
-Demonstrăm că $ \le_m$ e tranzitivă
-Fie probleme de decizie f, g, h astfel încât:
-$ f \le_m g$ (deci există o transformare $ t_{1}$ a.î. $ f(w) = TRUE \iff g(t_{1}(w)) = TRUE$)
-$ g \le_m h$ (deci există o transformare $ t_{2}$ a.î. $ g(w) = TRUE \iff h(t_{2}(w)) = TRUE$)
-Luăm transformarea $ t = t_{1} \circ t_{2}$:
-$ f(w) = TRUE \iff h(t_{2}(t_{1}(w))) = TRUE$
-$ f(w) = TRUE \iff h(t(w))) = TRUE \Rightarrow f \le_m h$
-</hidden>