Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
Next revision 		Previous revision
aa:lab:3 [2023/10/21 11:48]
ioana.dabelea rezolvare pr2 		aa:lab:3 [2025/10/27 13:59] (current)
andreidarlau04 [Exercitii]
Line 1: Line 1:
-====== ​Reduceri Turing ​====== +====== ​Analiza Amortizata 2 ======
-/* +
-<​hidden>​ +
-<note important>​ +
-Solutii: https://​drive.google.com/​file/​d/​1RUCQaVsHkMbFLBojUJ7ok5gy5Mq6-ce8/​view?​usp=sharing +
-</​note>​ +
-</​hidden>​ +
-*/ +
-Reducerile Turing sunt o unealtă folositoare pentru a demonstra (ne)decidabilitatea/​acceptabilitatea unor probleme. Vom folosi în mod predominant reducerile pentru a demonstra prin absurd că o problemă nouă $ f$ nu este decidabilă,​ atfel:+
  
-  * presupunem că $ f$ e decidabilă,​ deci există o mașină $ M_f$ care o decide +Vom continua cu analiza amortizata inceputa ​in laboratorul precedent cu un ArrayList cu urmatoarele proprietati:​ 
-  * alegem o problemă //​cunoscută//​ $ g$ despre care știm deja (dintr-o demonstrație anterioară ​de la curs/​laborator) că este //​nedecidabilă//​. Un exemplu bun este problema terminării. +  * isi dubleaza capacitatea cand este plin (ex: avem 4 elemente intr-un ArrayList cu capacitate 4. La adaugarea celui de-al 5-lea element, capacitatea va deveni 8 - necesita ​o copiere ​de 4 element, apoi inserarea celui de-al 5-lea element). 
-  * găsim o //​transformare computabilă//​ $ T: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*$ pentru care propoziția $ \forall w \in \Sigma^*, g(w) = TRUE \iff f(T(w)) = TRUE$ este adevărată +  * isi injumatateste capacitatea cand este un sfert plin (ex: avem 5 elemente intr-un ArrayList de capacitate 16. La urmatoarea stergere, capacitatea va deveni 8 - necesita stergerea elementului 5, apoi copierea celor 4 elemente ramase).
-  * putem deci să construim mașina $ M_g$ care pentru orice input $ w$ simulează $ M_T$, apoi $ M_f$; rezultatul fiind că $ g$ e decidabilă +
-  * în urma contradicției,​ concluzionăm că presupunerea e greșită, deci $ f$ nu e decidabilă.+
  
-===== Exerciții ===== 
  
-<​note>​ +==== Exercitii ==== 
-În continuare, aveti un {{:​aa:​lab:​cheatsheet.pdf|}} ​pentru ​a va ajuta la rezolvări. +  - Aflati costul amortizat al operatiilor de inserare si stergere prin metoda agregatelor. 
-</​note>​+  - Aflati costul amortizat ​pentru ​k operatii de inserare si p operatii de stergere. 
 +  - Aflati costul amortizat al operatiei de stergere prin: 
 +    - metoda bancherului 
 +    - metoda potentialelor 
 +  - Bonus: Aflati costul amortizat al operatiei de inserare prin:  
 +    - metoda bancherului 
 +    - metoda potentialelor
  
-1. Demonstrați,​ folosind reduceri, că următoarele probleme sunt nedecidabile:​+===== Algebraic Data Types (ADT) =====
  
-  * $ f_{111}(M) = TRUE \iff  M[111] \rightarrow TRUE$ +Consideram urmatorul ADT:
-<​hidden>​ +
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{111}$.+
  
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{111}$:  +   ​Void ​: List 
-$ M, w \to t \to M^*$+   Cons : E x List -> List 
 +==== Exercitii ==== 
 +  - Implementati ADT-ul in C. 
 +  - Definiti axiome pentru size, add, append, reverse. 
 +  - Implementati axiomele definite in C.
  
-După ce am găsit asta,  mai ramane de demonstrat doar: $ f_{h}(M, w) = TRUE \iff f_{111}(M^*) = TRUE$ 
  
-$ M^*(x):$ +<note tip>Solutiile laboratorului ​se afla [[aa:lab:sol:3|aici]].</note>
-<code> +
-   run M[w] +
-   ​return x == 111 +
-</​code>​ +
- +
-Demonstraţii:​ +
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{vom returna x == 111} \Rightarrow \text{când x este 111}, M^* \text{va tranziţiona în Y} => M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow f_{111}(M^*) = TRUE$ +
-  - $ f_{111}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[111] \rightarrow TRUE \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ +
- +
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{111}$. +
-</​hidden>​ +
- +
-  * $ f_{p}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ decide dacă w e palindrom} $ +
-<​hidden>​ +
-O să încercăm să arătăm că $ f_{h} \le_m f_{p}$. +
- +
-Trebuie să găsim o transformare t care primeşte inputul lui Halting Problem şi întoarce un input pentru $ f_{p}$:  +
-$ M, w \to t \to M^*$ +
- +
-$ M^*(x):$ +
-<​code>​ +
-   run M[w] +
-   check if x is palindrome +
-</​code>​ +
- +
-Demonstraţii: +
-  - $ f_{h}(M, w) = TRUE \Rightarrow M[w] \text{se termină} \Rightarrow \text{o sa verificăm dacă x este palindrom} \Rightarrow \text{când x este palindrom}, M^* \text{va tranziţiona în Y}  \Rightarrow f_{p}(M^*) = TRUE$ +
-  - $ f_{p}(M^*) = TRUE \Rightarrow M^*[x] \text{decide daca x este palindrom } \forall x \Rightarrow \text{am ajuns la return} \Rightarrow \text{run M[w] din }M^* \text{nu a ciclat} \Rightarrow \text{M[w] s-a oprit} \Rightarrow f_{h}(M, w) = TRUE$ +
- +
-Din cele 2 direcţii ale demonstraţiei $\Rightarrow f_{h} \le_m f_{p}$. +
-</hidden> +
-  * $ f_{rev}(M) = TRUE \iff \forall w, M \text{ computează inversul lui w}$ +
-  * $ f_{own}(M) = TRUE \iff M[enc(M)] \rightarrow TRUE$ +
-  * $ f_{finite}(M) = TRUE \iff M \text{ se oprește pentru un număr finit de cuvinte}$ +
-  * $ f_{set}(A, M) = TRUE \iff \forall w \in A, M[w] \text{ halts}$ +
-  * $ f_{x}(M) = TRUE \iff \exists w, M[w] \text{ scrie un x pe bandă la un moment dat}$ +
-  * $ f_{eq}(M_1, M_2) = TRUE \iff  \forall w, M_1[w] \equiv M_2[w]$; i.e. mașinile au același comportament (fie acceptă, fie resping, fie computează aceeași valoare, fie ciclează) pentru orice cuvânt. +
- +
-2. Construiți următoarele reduceri: +
- +
-  * $ f_{all} \le_m f_{eq}$ +
-  * $ f_{any} \le_m f_{eq}$ +
-  * $ f_{p} \le_m f_{eq}$ +
-  * $ f_{own} \le_m  f_{eq}$ +
- +
-3. Demonstrați că relația $ \le_m$ e reflexivă și tranzitivă.+