Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
|
aa:lab:12 [2021/01/13 21:28] claudiu.dorobantu Correct k-Independent-Set problem |
aa:lab:12 [2026/01/19 12:58] (current) dmihai |
||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | ===== Lab 12: NP-hard and NP-complete problems ===== | + | ====== Abordări practice pentru probleme NP-Complete ====== |
| - | Consider the following problems: | + | Problemele NP-Complete despre care am discutat până acum la curs și la laborator au două trăsături principale: |
| - | ===k-Independent Set=== | + | * nu au soluții eficiente cunoscute |
| + | * sunt relevante practic | ||
| - | Let $math[G=(V,E)] be an undirected graph and $math[k] be a natural number. **k-Independent-Set** asks if there exists a subset $math[C\subseteq V] of size $math[k] of nodes from $math[G] such that all nodes from $math[C] are **independent**: $math[\forall u,v \in C, (u,v)\not\in E]. | + | Trebuie deci să avem o strategie de a le aborda, nu putem să le evităm. |
| + | În acest laborator vom studia o strategie puternică numită //"kernelizare"//. | ||
| + | Kernelizarea are la bază ideea că backtrackingul este inevitabil; dar în loc să aplicăm backtracking pe întreaga instanță a problemei, putem încerca a priori să //extragem miezul dificil al problemei//. | ||
| + | Această extragere constă în aplicarea unui algoritm determinist polinomial (deci //eficient//) care să reducă drastic dimensiunea problemei. | ||
| + | Este similar cu o reducere polinomială; dar în loc să transformăm inputul unei probleme ''A'' într-un input pentru o altă problemă ''B'', îl vom transofrma într-un input mai mic pentru aceeași problemă ''A''. | ||
| - | **Remark:** Let $math[G] be a **social network** where each edge $math[(u,v)\in E] models friendship between participants $math[u] and $math[v]. **k-independent-set** asks if there exist a group of size $math[k] such that no two members of it are friends. | + | ==== Vertex Cover ==== |
| - | ===Subset Sum=== | + | Vom implementa un algoritm simplu de kernelizare pentru problema Vertex Cover pe graful $ G = (V, E)$ și dimensiunea căutată $ K$, care constă în următorii pași: |
| - | Let $math[a_1, a_2, \ldots, a_n, b] be natural numbers. **Subset Sum** asks if there exist a subset of $math[a_1, a_2, \ldots, a_n] whose **sum** equals $math[b]. | + | * căutăm toate nodurile $ v \in V$ cu $ grad(v) > K$ (gradul unui nod este numărul de muchii adiacente nodului). Dacă există un cover de dimensiune $ K$ aceste noduri trebuie să facă parte din el. Putem să le reținem separat, apoi să le ștergem din graf și să decrementăm $ K$ pentru fiecare din ele. Căutăm în continuare un cover mai mic într-un graf mai mic. **Atenție!** După aplicarea acestei reguli, este posibil să o putem aplica din nou pe noul graf și noul $ K$. |
| - | **Remark:** Imagine $math[a_1, a_2, \ldots, a_n] to be **weights** of various items identified as $math[1,2, \ldots, n] and that $math[b] is the **capacity** of a rucksack. **Subset sum** asks if you can pick a **combination** of items such that the rucksack can be **completely full**. | + | * Căutăm toate nodurile $ v \in V$ cu $ grad(v) = 0$; acestea pot fi eliminate |
| - | ===Partition=== | + | * Dacă graful obținut are mai mult de $ K^2$ (aici e vorba de $ K$-ul obținut prin transformări, nu neapărat $ K$ inițial) muchii, atunci graful nu poate conține un cover de dimensiune $ K$ (pentru că acum fiecare nod are grad maxim $ K$, deci $ K$ noduri pot acoperi maxim $ K \times K$ muchii); putem întoarce direct răspunsul negativ. Altfel, invocăm algoritmul de backtracking naiv pe noua instanță. |
| - | Let $math[a_1, a_2, \ldots, a_n] be natural numbers. **Partition** asks if there exists a partitioning of $math[{a_1, \ldots, a_n}] into $math[P_1,P_2] such that the sum of elements from one element of the partition equals that of the other. | ||
| - | * how is a **partition** formally defined? | ||
| - | **Remark:** Imagine you have items each having a certain **value** $math[a_1, a_2, \ldots, a_n]. **Partition** asks you to split those item | + | <note> |
| - | s between two people such that each one receives **equal** value. | + | Pentru completitudine, trebuie să considerăm și situația $ K = 0$; în acest caz răspunsul e pozitiv dacă și numai dacă nu există muchii în graf. |
| + | </note> | ||
| - | ==== 1. Reductions ==== | + | <note> |
| + | Ca să păstrăm analogia cu reduceri polinomiale (în care transformarea trebuie neapărat să producă o instanță a problemei și nu direct un răspuns) putem la ultimul pas, în caz că sunt mai mult de $ K^2$ muchii, să aplicăm backtracking naiv pe orice instanță despre care știm că răspunsul e negativ: e.g. întoarcem un graf cu două noduri, muchie între ele și $ K = 0$. | ||
| + | </note> | ||
| - | 1.1. Show that SAT $math[\leq_p] Subset Sum. Group discussion on the reduction in class. | ||
| - | 1.2. Prove that Partition is NP-hard. What are the steps to take? Build the reduction on your own. | + | ==== Exerciții ==== |
| - | 1.3. Prove that Independent set is NP-hard. | + | 1. Implementați o soluție prin backtracking naiv pentru problema $ \texttt{VERTEX COVER}$; trebuie ca punctul de intrare să fie o funcție ''solve_vertex_cover(<graph>, <k>)''. |
| - | 1.4. Show that Partition $math[\leq_p] Subset Sum. | + | 2. Implementați pașii de preprocesare discutați mai sus. |
| + | La final, aplicați funcția ''solve_vetex_cover'' pe graful și numărul obținut. | ||
| - | ==== 2.Properties of NP-hard and NP-complete problems ==== | + | 3. Implementați reducerea $ \texttt{CLIQUE} \le_P \texttt{VERTEX COVER}$; trebuie ca punctul de intrare să fie o funcție ''solve_clique(<graph>, <k>)''. |
| + | După reducerea grafului, aplicați preprocesarea prin kernelizare descrisă la punctul 2. | ||
| - | 2.1. Identify a problem which is NP-hard but not NP-complete. Justify your answer. | ||
| - | 2.2. Suppose $math[f \leq_p g], $math[f] is NP-hard and $math[g] is in NP. Is it true that $math[g \leq_p f] ? | + | Găsiți {{:aa:lab:graph-example.zip|aici}} un exemplu de graf în următorul format: |
| - | + | ||
| - | 2.3. What is an **equivalence class**? Show that the set of NP-complete problems is an equivalence class. | + | |
| - | + | ||
| - | ==== 3. P vs NP ==== | + | |
| - | + | ||
| - | 3.1. Suppose you find an algorithm which solves $math[SAT] in $math[O(n^4)] time. Is it true that $math[P = NP]? Justify your answer. What does this entail? | + | |
| - | + | ||
| - | 3.2. Suppose that you find an algorithm $math[A] which can solve the problem of finding if **all subsets of size k** of nodes from a graph are **not** cliques in polynomial time. Does that entail $math[P = NP] or $math[P \neq NP]? Justify your answer. | + | |
| - | + | ||
| - | ==== 4. Further work ==== | + | |
| - | + | ||
| - | 4.1. How would you define the concept of a $math[P]-complete problem? How difficult (informally) would these problems be? | + | |
| - | + | ||
| - | 4.2. Give an example of a $math[P]-complete problem. | + | |
| + | * pe prima linie, o literă ''U'' sau ''D'' indică dacă graful este neorientat (**U**ndirected) sau orientat (**D**irected). | ||
| + | * tot pe prima linie, seaparate cu un spațiu sunt numărul de noduri $ N$ și numărul de muchii $ M$ | ||
| + | * pe următoarele $ M$ linii sunt triplete: ID nod sursă, ID nod destinație, cost muchie (pentru grafuri neorientate, muchiile apar o singură dată, listate la nodul cu ID mai mic) | ||
| + | * nodurile sunt indexate de la 0. | ||
| + | Este un graf complet cu 29 de noduri; are acoperiri doar de 28 și de 29 de noduri. | ||