Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- aa:lab:11 [2024/01/08 22:48]
stefan.sterea
+++ aa:lab:11 [2026/01/10 23:52] (current)
dmihai
@@ Line 1: / Line 1: @@
-===== Analiza amortizata =====
+====== Reduceri polinomiale ======
-Utilizati aggregate method, accounting method si potential method pentru a gasi costul amortizat pentru situatiile prezentate mai jos.
+În acest laborator veți explora un graf realist cu date despre toate aeroporturile din lume și rutele dintre ele și veți aplica diverși algoritmi *eficienți* pe acesta.
+Momentan, puteți considera termenul "eficient" să însemne "fără backtracking" (mai precis, ne referim la conceptul de polinomial, i.e. cu o complexitate descrisă de $ O(n^k)$, pentru un $ k$ natural; vom relua conceptul la curs).
-=== 1. Stack ===
+Descărcați de aici arhiva cu datele de intrare: {{:aa:lab:lab.zip|}}
-Presupunand ca avem o implementare a unei stive care permite operatiile $ pop - O(1) $, $ push - O(1) $ si $ mpop(k) - O(k) $,
+Aceasta conține în directorul ''res/'' trei fișiere cu date despre aeroporturi și rute:
-demonstrati ca pentru o secventa arbitrara $ S $ de $ n $ operatii, $ cost(S) = O(n) $
-si ca fiecare operatie are un cost amortizat $ cost(op)=O(1) $.
-**Exemplu:** $ push, pop, push, push, push, mpop(2), push, pop, push $
+ - ''airroutes.in'' - din lume  \\
+ - ''eu-airroutes.in'' - din Europa  \\
+ - ''ro-airroutes.in'' - din România
-=== 2. Heap ===
+Fișierele descriu grafuri orientate, ale căror noduri au ID-uri întregi începând de la 0; respectă următorul format:
-Un max-heap e un arbore binar aproape complet - toate nivelele cu
+ - pe prima linia, numărul de noduri ''N'' și numărul de muchii din graf, separate de un spațiu. \\
-exceptia ultimului sunt complete, iar ultimul este completat de
+ - pe următoarele ''N'' linii, informații despre un nod  \\
-la stanga la dreapta. Fiecare 2 noduri A si B unde B este fiu al lui A
+ - pe linia ''i'' (probabil indexată de la 1 în editorul de text), găsiți informații despre nodul cu ID ''i - 2'': \\
-satisfac relatia:
+    - [[https://www.iata.org/en/publications/directories/code-search/|codul IATA]] al aeroporturlui \\
-$ key(B) \leq key(A) $
+    - toate rutele de la acel aeroport exprimate folosind trei numere: ID-ul aeroportului destinație, distanța zborului în kilometri, durata zborului în minute.
-Un max-heap se poate stoca sub forma de array, unde $ a[i] $ are
+<note>
-copiii $ a[2i] $ si $ a[2i+1] $.
+Fișierele sunt doar o versiune parser-friendly a datelor din acest JSON: https://github.com/Jonty/airline-route-data/blob/main/airline_routes.json
-Adaugarea unui element presupune:
+În ''tools/extract_c_friendly.py'' găsiți scriptul care a realizat extragerea.
-  - adauga un element in prima pozitie libera de pe ultimul nivelele
+</note>
-  - compara elementul adaugat cu parintele si interschimba-i daca e cazul
-  - repeta pasul anterior pana nodul respecta proprietatea in raport cu parintele lui sau a devenit radacina
-Aratati ca fiecare inserare are un cost agregat $ cost(op)=O(logn) $.
+==== Exerciții ====
+BONUS: Aplicați backtracking naiv pentru a rezolva problema $ \texttt{MINIMAL COLORING}$ pe un graf primit ca input; i.e. găsiți numărul minim de culori distincte cu care putem colora nodurile din graf astfel încât să nu existe muchie între două noduri de aceeași culoare.
-=== 3. Binary Counter ===
+. Aplicați backtracking naiv pentru a rezolva problema $ \texttt{COLORING}$ pe graful respectiv; va trebui să mai primiți un argument numeric $ k$ și să determinați dacă graful poate fi colorat cu $ k$ culori.
+BONUS: implementați o soluție pentru $ \texttt{MINIMAL COLORING}$ care să folosească soluția pentru $ \texttt{COLORING}$ cu o cantitate minimală de cod adițional.
+BONUS: implementați o soluție pentru $ \texttt{COLORING}$ care să folosească soluția pentru $ \texttt{MINIMAL COLORING}$ cu o cantitate minimală de cod adițional.
+. Implementați transformarea necesară pentru reducerea $ \texttt{COLORING} \le_P \texttt{CNF SAT}$:
+ - creați câte o variabilă $ x_{v, c}$ pentru fiecare pereche de nod și culoare $ (v, c)$ \\
+ - fiecare nod trebuie să aibă cel puțin o culoare; adăugați pentru fiecare nod $ v$ clauza: $ (x_{v, 0} \lor x_{v, 1} \lor \ldots \lor x_{v, k - 1})$ \\
+ - fiecare nod trebuie să aibă maxim o culoare; pentru fiecare nod $ v$ și pentru fiecare pereche de culori $ c1 < c2$ adăugați clauza: $ (\overline{x_{v, c1}} \lor \overline{x_{v, c2}})$ \\
+ - două noduri adiacente nu pot avea aceeași culoare; pentru fiecare pereche de noduri $ (u, v)$ și pentru fiecare culoare $ c$ adăugați clauza: $ (\overline{x_{v, c}} \lor \overline{x_{u, c}})$
+. Implementați o soluție pentru a rezolva $ \texttt{CNF SAT}$ prin backtracking naiv.
+. Convertiți formula voastră in formatul [[https://jix.github.io/varisat/manual/0.2.0/formats/dimacs.html|DIMACS]] și rezolvați-o cu un SAT solver.
+<note>
+Ca SAT solver, vă recomandăm [[https://github.com/Z3Prover/z3|Z3]] de la Microsoft Research.
+Acesta este de fapt un solver de $ \texttt{SMT}$ (//Satisfiability Modulo Theories//), o problemă mai generală, dar poate rezolva și $ \texttt{SAT}$.
+Cel mai probabil, distribuția voastră are Z3 disponibil ca pachet în repositories default.
+Dacă nu, instalați [[https://github.com/Z3Prover/z3/releases|ultimul release]].
+</note>
+<note>
+Formatul DIMACS este un format standard pentru a descrie instanțe de probleme $ \texttt{CNF SAT}$.
+În fiecare an are loc o [[https://satisfiability.org/SAT26/|conferință faimoasă]] pe tema problemelor de satisfiabilitate.
+Conferința are și o competiție de SAT solving asociată; puteți găsi [[https://satcompetition.github.io/2025/downloads.html|aici]] submisiile pentru anul acesta; vă recomandăm să încercați să rulați și unul din aceste solvere, pe lângă Z3 (Z3 este un produs finisat și robust, pe o problemă mai generală; aceste solvere doar rezolvă instanțe de SAT; e posibil să fie mai rapide).
+</note>
-Presupunand ca avem un contor binar implementat folosind o lista de $ k $ biti,
-el permite doar operatia $ increment $ care adauga $ 1 $ la contor.
-Aceasta operatie are complexitate temporala O(k) in cel mai rau caz. Aratati insa ca operatia are un cost amortizat constant.