• Înțelegerea structurii și proprietăților unui heap
• Implementarea algoritmilor de sortare heap și radix sort (cu măsurarea timpului de execuție)

Există mai mutle tipuri de heap, dar ne vom referi numai la binary heap pentru implementarea algoritmului Heap sort.

Un heap binar este un arbore binar cu următoarele proprietăţi:

• este „complet“ (toate nivelele sunt pline, cu posibila excepţie a ultimului nivel), adică de înălţime minimă
• există aceeaşi relaţie de ordine între orice nod şi părintele acestuia (excepţie - nodul rădăcină).

Dacă nodurile conţin numere întregi după care stabilim relaţia de ordine, heap-ul poate fi de două feluri:

• max-heap (rădăcina are cel mai mare număr, de la orice copil la părinte avem relaţia mai mic sau egal)
• min-heap (rădăcina are cel mai mic număr, de la orice copil la părinte avem relaţia mai mare sau egal)

Un pas din algoritmul Radix sort foloseşte o funcţie de indexare. Aceasta prelucrează cheia fiecărui element pentru a decide câte elemente să pună în fiecare sector (bucket).

• Sectoarele pot exista ca vectori independenţi sau ca un singur vector în care marcăm poziţia la care începe fiecare sector.
• Este recomandat ca funcţia de indexare să existe explicit (să fie definită ca subprogram) atunci când are o formă complicată. Dacă are o formă simplă (cum ar fi o singură operaţie), această parte poate fi omisă.

Menţionăm următoarele operaţii pe biţi ce se pot folosi în C/C++ :

Operaţii logice

• & şi pe biţi (bitwise AND)
• | sau pe biţi (bitwise OR)
• ^ sau exclusiv pe biţi (bitwise XOR)
• ~ complement pe biţi (bitwise NOT)

Deplasări

• » la dreapta (right shift)
• « la stânga (left shift)

Descriem numai operaţiile pe care le vom folosi în cadrul exemplului de mai jos: » şi &.

• Operaţia n » k are ca rezultat valoarea obţinută prin mutarea la dreapta a tuturor biţilor lui n (pe primii k biţi se obţine 0, iar ultimii k biţi din n sunt ignoraţi).
• Operaţia n & k are ca rezultat valoarea obţinută prin păstrarea biţilor nenuli din n pentru poziţiile pe care şi k are biţi nenuli (0 în rest)

• Timp mediu: O(N log N)
• Timp la limită: O(N log N)
• Memorie: O(1)
• Stabil: NU

Descriere :

• Metoda de sortare prin selecţie directă se bazează pe selecţia repetată a ultimei chei dintre n elemente, apoi dintre n-1 elemente rămase, etc.
• Pentru a găsi cea mai mică cheie dintre n elemente sunt necesare n-1 comparaţii, apoi găsirea următoarei dintre n-1 elemente are nevoie de n-2 comparaţii, etc. ⇒ n(n-1)/2 comparaţii.
• Această sortare se poate îmbunătăţi prin reţinerea, de la fiecare scanare, de mai multă informaţie decât identificarea unui singur element, cel mai mic.
• De exemplu, cu n/2 comparaţii se poate determina cheia mai mică pentru fiecare pereche de elemente dintre cele n elemente, apoi cu alte n/4 comparaţii se poate determina cheia cea mai mică pentru fiecare pereche ale cheilor determinate anterior, şi aşa mai departe. Astfel, cu n-1 comparaţii se poate construi arborele de selecţie.

Descriem următorii paşi pentru o variantă de implementare a algoritmului Heap sort (ordonare crescătoare):

• presupunem că vectorul formează un arbore binar, fiecare poziţie din vector reprezentând un nod, cu rădăcina pe poziţia 0 (zero) şi cu fiecare nod k având copiii 2k+1 şi 2k+2 (dacă nu există poziţia din vector cu indicele respectiv, atunci nu există nod copil ⇒ NULL)
• formăm un max-heap cu aceeaşi reprezentare (pe vector, fără a construi altă structură pentru noduri)
• extragem maximul din rădăcina heap-ului (poziţia 0 din vector) şi facem o intersschimbare între poziţia maximului şi ultima poziţie din vector. Acum maximul se află pe poziţia dorită şi putem să-l excludem din heap.
• repetăm paşii (refacem forma de heap, extragem noul maxim, reducem cu 1 numărul de elemente nesortate), cât timp mai sunt elemente în heap.

Definim următoarele două funcţii pentru a prezenta mai usor algoritmul Heap sort:

• funcţia „cerne“ (asigură „cernerea“/„scurgerea“/„căderea“ nodului k până poziţia necesară pentru heap) - dacă nodul k nu are valoarea mai mare decât a copiilor lui (nu se păstrează relaţia de ordine a heap-ului), atunci nodul k va fi „cernut“ până va fi respectată relaţia.
• funcţia „makeHeap“ (formează max heap-ul) - funcţia cerne toate nodurile pentru a obţine un heap

Implementare:

void schimba(int a[],int i,int j) //functie auxiliara
{
    int aux;
    aux = a[i];
    a[i] = a[j];
    a[j] = aux;
}
void cerne(int a[],int n,int k)
{
    int fiuStanga = 2 * k + 1, //pozitia primului copil
        fiuDreapta = 2 * k + 2,
        pozMax = fiuStanga; //pozitia copilului mai mare
    if(fiuStanga >= n)
        return; //"nodul" k este frunza
    if(fiuDreapta < n) {
        if(a[fiuDreapta] > a[fiuStanga] ) {
            pozMax = fiuDreapta;
        }
    }//am ales copilul mai mare
    if(a[k] < a[pozMax]) {
        schimba(a,k,pozMax); //nodul k este "cernut" - coboara
        cerne(a,n,pozMax); //cernem la noua lui pozitie
    }
}
void makeHeap(int a[],int n) //functia mai e numita "heapify"
{
    //pentru i > n / 2, i este cu siguranta nod frunza
    for(int i = n / 2;i >= 0;i--) { //ne asiguram ca exista ordine
        cerne(a,n,i); // pentru orice nod de la i la n-1
    }
}
void heapSort(int a[],int n)
{
    makeHeap(a,n); //construim un heap
    while(n > 1) {
        schimba(a,0,n-1); //mutam maximul pe ultima pozitie
        n--; //am asezat un element pe pozitia finala
        cerne(a,n,0); //elementul pus in locul maximului trebuie "cernut"
        //obtinem din nou forma de heap
    }
 
}

• Timp mediu: O(N * k)
• Timp la limită: O(N * k)
• Memorie: O(N + k)
• Stabil: DA

k = lungimea cuvântului/cheii (word size)

Vom prezenta varianta LSD (Least Signifiant Digit) a algoritmului de sortare.

Descriere: LSD Radix Sort este una dintre cele mai rapide metode de sortare.Aceasta se bazează pe sortarea în funcţie de cea mai nesemnificativă „cifră“.

• Radix Sort nu are la bază o tehnică de comparare. Fiecare element din vector (sau atribut al unui element, în cazul structurilor) după care facem sortarea va fi numit cheie.
• Cheile sunt gândite ca şiruri de „caractere“ (unde un „caracter“ poate fi un bit, o cifra, o literă, …).

Algoritmul trece prin următorii paşi:

• pornind de la poziţia celui mai nesemnificativ „caracter“, numără de câte ori apare fiecare „caracter“ pe poziţia respectivă, apoi împarte un vector auxiliar în secţiuni (imaginare). Numărul de secţiuni este numărul de „caractere“ diferite ce pot exista în vector, adică fiecărei secţiuni îi este asociat un „caracter“, dimensiunea unei secţiuni depinde de numărul de apariţii ale „caracterului“ asociat;
• pune fiecare element (în vectorul auxiliar) în secţiunea corespunzătoare, apoi copiază vectorul auxiliar înapoi în vectorul ce trebuie sortat. Se obţine un vector sortat până la poziţia curentă;
• trece la poziţia următoare şi repetă paşii, ultima poziţie fiind cea a celui mai semnificativ „caracter“.

Implementare: Exemplul prezentat foloseşte un octet pe post de „caracter“. Putem interpreta acest exemplu şi ca scriere a numerelor în baza 256, valoarea fiecărui octet fiind o „cifră“.

#define BYTE 8
#define COUNT_BYTE 256
int obtineOctetul(int n,int byteNr)
{   //cautam octetul de la pozitia byteNr
    //octetul de pe pozitia 0 este LSD = octetul cel mai din dreapta(pentru int)
    int bitsNr =  BYTE * byteNr;
    int mask = COUNT_BYTE - 1;
    return (n >> bitsNr) & mask;
}
void rad(int *a,int *b, int byteNr,int n)
{   //sortare dupa octetul de pe pozitia byteNr,
    // pe pozitia 0 este LSD = octetul cel mai din dreapta
    int i,
        count[COUNT_BYTE] = {0}, //numaram cate elemente au "car." i pe pozitia byteNr
        index[COUNT_BYTE] = {0}; //pozitia la care vom pune urmatorul element cu "car." i
    for(i = 0; i < n;i++) {
        int car = obtineOctetul(a[i],byteNr);
        count[car]++;
    }
    for(i = 1;i < COUNT_BYTE;i++) //sectionam vectorul b
        index[i] = index[i-1] + count[i-1];
    for(i = 0; i < n; i++) { //umplem sectiunile
        int car = obtineOctetul(a[i],byteNr);
        b[index[car]++] = a[i];
    }
}
void radixSort(int *a,int n)
{
    int *b = new int[n], //vector folosit la copiere
        byteNr, //pozitia curenta
        k = sizeof(a[0]); //numarul de "caractere"
    for(byteNr = 0; byteNr < k; byteNr += 2) {
        rad(a, b, byteNr, n); //in loc sa copiem b inapoi in a la fiecare pas
        rad(b, a, byteNr + 1, n); //copiem doar o data la 2 pasi
    }
    delete []b;
}

1. Generaţi un vector de n întregi cu n = 1e6. Sortaţi vectorul cu cei doi algoritmi şi comparaţi rezultatele (aici ne intereseaza viteza sortării, vezi https://stackoverflow.com/questions/5248915/execution-time-of-c-program). [80% notă]
2. Introduceţi o variabilă globală cu care să contorizaţi numărul de apelări ale funcţiei „cerne“. Afişaţi numărul de apelări necesare pentru construirea heap-ului (makeHeap) şi numărul de apelări necesare pentru tot algoritmul (heapSort). [10% notă]
3. Cu Radix Sort, încercaţi să sortaţi un vector cu orice numere întregi (pozitive şi negative). Verificaţi rezultatul şi adăugaţi un pas în algoritm pentru a aşeza corect elementele. [10% notă]

1. Se dă un vector cu n întregi, unde toate valorile din vector sunt cuprinse între 0 şi n^2 - 1. Sortaţi vectorul în timp O(n). Hint: încercaţi să folosiţi altă „bază“ decât 256 pentru algoritm.