Table of Contents

Laboratorul 4: Arbori

1. Obiectivele laboratorului

2. Noţiuni introductive

Definiţie generală

Un arbore poate fi definit ca: structură de date ce conţine noduri şi legături, fără circularitate. Un arbore poate fi văzut ca o extindere de la lista simplu înlănţuită şi necirculară, eliminând condiţia de a exista o singură legătură ce pleacă dintr-un nod, adică maxim un singur nod „următor“.

Rădăcină(Root) Numim rădăcină primul nod al arborelui(echivalentul capului de listă).

Copil - Părinte(Child - Parent) Nodul P este părintele nodului C dacă are legătură către C (similar, C este copilul lui P).

Rădăcina NU poate fi nod-copil.

Gradul(Degree) Gradul unui nod este egal cu numărul de copii ai acestuia.

Frunză(Leaf) şi nod intern/extern(internal/external) Numim frunză un nod fără copii(nod terminal).

Urmaş(Descendant) Nodul U este urmaşul nodului S dacă putem „coborî“(mergând numai de la părinte la copil) de la S la U.

Strămoş(Ancestor) Nodul S este strămoşul nodului U dacă U este urmaşul lui S(putem „urca“ de la U la S).

Rădăcina este strămoşul tuturor celorlalte noduri din arbore.

Înălţime(Height) Definim înălţimea unui nod egală cu numărul de legături pe care „coborâm“ de la acel nod la cea mai îndepărtată frunză.

înălţimea arborelui = înălţimea rădăcinii

Adâncime(Depth) Definim adâncimea unui nod egală cu cu numărul de legături pe care „coborâm“ de la rădăcină la nodul respectiv.

adâncimea rădăcinii = 0

Nivel(Level) Definim nivelul unui nod egal cu 1 + adâncimea.

Pădure(Forest) Numim pădure o mulţime de N(de obicei N >= 2) arbori disjuncţi(care nu au noduri comune).

Vector de taţi(Parent array/vector) Vectorul de taţi reprezintă o soluţie ieftină(d.p.d.v. al memoriei) de reprezentare a unui arbore atunci când nodurile pot avea un număr diferit de legături. În acest caz, ne putem folosi de faptul că fiecare nod-copil are un singur părinte, indiferent de câţi copii are părintele respectiv. Rădăcina arborelui este singura excepţie. 

//fie n = nr. de noduri
//nodurile sunt numerotate de la 0 la n-1
//fie doua noduri numerotate cu indicii A si B
Parent[A] = B; // Parintele nodului A este nodul B
//fie Root nodul radacina
Parent[Root] = -1; //nu exista nod numerotat cu -1

3. Arbori binari

A. Definiție

Un arbore binar este alcătuit din noduri, unde fiecare nod conține un pointer către „stânga“ și un pointer către „dreapta“ și un element de tip dată. Pointer-ul „root (rădăcină)“ reprezintă adresa celui mai de sus nod din arbore.Pointerii din „stânga“ și „drepta“ punctează în mod recursiv, pe fiecare aprte, la subarbori mai mici. Arborii sunt folosiți in general pentru a modela o ierarhie de elemente. Astfel,fiecare element (nod) poate deține un număr de unul sau mai mulți descentenți,iar în acest caz nodul este numit părinte al nodului descendent. Un nod fără descendenți este un nod terminal, sau nod frunză.

B. Reprezentare

Structura nodului unui arbore este urmatarea: 

struct node {
     int data;
     struct node* left;
     struct node* right;
};

C. Parcurgerea

În adâncime 

void search_tree_preordine (tree *root) {
     if( root!=NULL){
          cout << root->data <<"\n";
          search_tree_preordine(root->left);
          search_tree_preordine(root->right);
     }
}
void search_tree_inordine(tree *root){
     if( root!=NULL){
          search_tree_inordine(root->left);
          cout << root->data <<"\n";
          search_tree_inordine(root->right);
     }
}
void search_tree_postordine(tree *root){
     if( root!=NULL){
          search_tree_postordine(root->left);
          search_tree_postordine(root->right);
          cout << root->data <<"\n";
     }
}

În lățime

Această parcurgere reprezintă vizitarea „nivel cu nivel“ a arborelui.

De exemplu, vom obține j,f,k,a,h,z,d pentru arborele: 

  tree
   ---
    j       <--level 0
   / \
  f   k     <--level 1
 / \   \   
a   h   z   <--level 2
 \
  d         <--level 3

Cum se realizează această implementare?

Vom folosi o coadă în care vom introduce rădăcina, apoi informația din stânga, apoi informația din dreapta, apoi coborând pe subarborele stâng procedăm la fel, iar după ne vom întoarce pe subarborele drept să aplicăm aceeași operație și tot așa până vom ajunge la frunze. Coada ne dă posibilitatea să scoatem prima informație, prima introdusă ⇒ierarhia.

Nodurile frunză nu au descendenți:nodul stâng și nodul drept pointează la NULL și nu trebuie adăugate în coadă.

4. Exerciții

Scrieți un program care folosește arbori pentru a evalua expresii matematice cu cifre.

Să considerăm o expresie matematică: 2+4*5+1*2*3.

Pentru a crea un arbore de parsare avem nevoie să folosim următoarele structuri: 

       +
      / \
     2    +
         / \
        *    *
       / \  / \
      4  5 1   *
              / \
             2   3

Algoritmul presupune:

Construiți arborele asociat expresiei.