Laborator 11 - Grafuri - Advanced

Responsabili

• Ștefan-Teodor Dascălu
• Melih Riza

În urma parcurgerii acestui laborator, studentul va fi capabil să:

• găsească soluțiile unor probleme folosind algoritmii de parcurgere
• să folosească şi să adapteze algoritmii de parcurgere pentru implementarea soluţiilor găsite

Grafurile sunt utile pentru a modela diverse probleme şi se regăsesc implementaţi în multiple aplicaţii practice:

• reţele de calculatoare (ex: stabilirea unei topologii fără bucle)
• pagini Web (ex: Google PageRank)
• rețele sociale (ex: calcul centralitate)
• hărţi cu drumuri (ex: drum minim)
• modelare grafică (ex: prefuse, graph-cut)

Se numeşte componentă conexă a unui graf neorientat G = (V, E) un subgraf G1 = (V1, E1) în care pentru orice pereche de noduri (A, B) din V1 există un lanţ de la A la B, implicit şi de la B la A.

Observaţie Nu există un alt subgraf al lui G, G2 = (V2, E2) care să îndeplinească această condiţie şi care să îl conţină pe G1. În acest caz, G2 va fi componenta conexă, iar G1 nu.

• Atât o parcurgere BFS, cât şi una DFS, pornind dintr-un nod A, va determina componenta conexa din care face parte A.
• Pentru a determina toate componentele conexe ale unui graf G = (V, E), se vor parcurge nodurile din V.
• Din fiecare nod care nu face parte dintr-o componentă conexă găsită anterior, se va porni o parcurgere BFS sau DFS.

// Inițializări
pentru fiecare nod u din V
{
    stare[u] = nevizitat
}
componente_conexe = 0

// Funcţie de vizitare a nodului
vizitare(nod)
{
    stare[nod] = vizitat
    printeaza nod
}

// Parcurgerea în adâncime
DFS(nod)
{
    stiva s
     
    viziteaza nod 
    s.introdu(nod)
    
    cât timp stiva s nu este goală
    {
        nodTop = nodul din vârful stivei 
               
        vecin = află primul vecin nevizitat al lui nodTop.
        dacă vecin există
        {
            viziteaza v
            s.introdu(v)
        }  
        altfel
        {
            s.scoate(nodTop)
        }
    }
}

// Parcurgerea nodurilor din V
pentru fiecare nod u din V
{
    dacă stare[u] == nevizitat
    {
        componente_componente = componente_conexe + 1
        DFS(u)
    }
}

Graful din imagine are 4 componente conexe.

Dacă toate muchiile au același cost, putem afla distanța minimă între două noduri A și B efectuând o parcurgere BFS din nodul A și oprindu-ne atunci când nodul B a fost descoperit. Reamintindu-ne că nivelul unui nod este analog distanței, în muchii, față de sursă, și că BFS descoperă un nod de pe nivelul N numai după ce toate nodurile de pe nivele inferioare au fost descoperite, este ușor de văzut că nivelul nodului B în parcurgere corespunde distanței minime între A și B.

Pentru a reține distanța și drumul exact de la A la B, se vor reține pentru fiecare nod d[x] (distanța de la sursă la x) și p[x] (părintele lui x în drumul de la sursă spre x). În momentul descoperirii unui nod y al cărui părinte este x, se vor face următoarele atribuiri:

d[y] = d[x] + 1
p[y] = x

sursa având d[A] = 0 și p[A] = NULL.

Observații:

• dacă parcurgerea BFS se încheie fără ca nodul B să fi fost descoperit, nu există drum între A și B și deci distanța între acestea este infinită.
• Algoritmul funcționează corect numai în situații de cost uniform (toate muchiile au același cost). Pentru grafuri cu muchii de costuri diferite, sunt necesari algoritmi mai avansați, cum ar fi: Dijkstra, Bellman-Ford sau Floyd-Warshall.

// Inițializări
pentru fiecare nod u din V
{
    stare[u] = nevizitat
    d[u] = infinit
    p[u] = null
}

// Distanța între sursă și destinație
distanța(sursă, destinație)
{

    stare[sursă] = vizitat
    d[sursă] = 0
    enqueue(Q,sursă)                // Punem nodul sursă în coada Q
 
    // BFS
    cât timp coada Q nu este vidă
    {
        v = dequeue(Q)              // Extragem nodul v din coadă
        pentru fiecare u dintre vecinii lui v
            dacă stare[u] == nevizitat
            {
                stare[u] = vizitat
                p[u] = v
                d[u] = d[v] + 1
                enqueue(Q,u)        // Adăugăm nodul u în coadă
            }
    }
    return d[destinație]            // Dacă este infinit, nu există drum
}

Se dă un graf orientat aciclic. Orientarea muchiilor corespunde unei relații de ordine de la nodul sursă către cel destinație. O sortare topologică a unui astfel de graf este o ordonare liniară a vârfurilor sale astfel încât, dacă (u,v) este una dintre muchiile grafului, u trebuie să apară înaintea lui v în înșiruire. Dacă graful ar fi ciclic, nu ar putea exista o astfel de înșiruire (nu se poate stabili o ordine între nodurile care alcătuiesc un ciclu).

Sortarea topologică poate fi văzută și ca plasarea nodurilor de-a lungul unei linii orizontale astfel încât toate muchiile să fie direcționate de la stânga la dreapta (să nu existe nici o muchie înapoi, spre părinte).

// Inițializări
pentru fiecare nod u din V
{
    stare[u] = nevizitat
    p[u] = NULL
    tDesc[u] = 0
    tFin[u] = 0
}
contor_timp = 0

// Funcţie de vizitare a nodului
vizitare(nod)
{
    contor_timp = contor_timp + 1
    tDesc[nod] = contor_timp
    stare[nod] = vizitat
    printeaza nod
}

// Parcurgere în adâncime
DFS(nod)
{
    stiva s
     
    viziteaza nod 
    s.introdu(nod)
    
    cât timp stiva s nu este goală
    {
        nodTop = nodul din vârful stivei 
               
        vecin = află primul vecin nevizitat al lui nodTop.
        dacă vecin există
        {
            p[v] = nodTop
            viziteaza v
            s.introdu(v)
        }  
        altfel
        {
            contor_timp = contor_timp + 1
            tFin[nodTop] = contor_timp
            s.scoate(nodTop)  
        }
    }
}

// Parcurgere noduri și calculare tDesc și tFin pentru fiecare nod
pentru fiecare nod u din V
{
    dacă u nu a fost vizitat
    {
         DFS(u)
    }
}

// Sortare topologica
sortează nodurile din V descrescător în funcție de tFin[nod]

Profesorul Bumstead își sortează topologic hainele înainte de a se îmbrăca.

• fiecare muchie (u, v) înseamna că obiectul de îmbrăcăminte u trebuie îmbrăcat înaintea obiectului de îmbrăcaminte v. Timpii de descoperire (tDesc) și de finalizare (tFin) obținuți în urma parcurgerii DFS sunt notați lângă noduri.
• același graf, sortat topologic. Nodurile lui sunt aranjate de la stânga la dreapta în ordinea descrescătoare a tFin. Observați că toate muchiile sunt orientate de la stânga la dreapta. Acum profesorul Bumstead se poate îmbrăca liniștit.

Așa cum se observă din imagine, sortarea topologică constă în sortarea nodurilor descrescător după timpii de finalizare. Demonstrația acestei afirmații se face simplu, arătând că nodul care se termină mai târziu trebuie să fie efectuat înaintea celorlalte noduri finalizate.

Se numește graf bipartit un graf G = (V, E) în care mulțimea nodurilor poate fi împărțită în două mulțimi disjuncte A și B astfel încât V = A U B şi E este inclus în A x B (orice muchie leagă un nod din A cu un nod din B). Dacă un graf conține noduri izolate, acesta nu este bipartit.

• Pentru a determina dacă un graf este bipartit sau nu, una din metode constă în efectuarea de parcurgeri BFS și atribuirea de etichete nodurilor conform cu paritatea nivelului acestora în parcurgere (A pentru nodurile de pe nivel par, B pentru nodurile de pe nivel impar).
• Atunci când se adaugă vecinii nevizitați ai unui nod în coadă, se vor verifica de asemenea etichetele vecinilor deja vizitați: dacă se descoperă că unul din aceștia are aceeași etichetă ca cea atribuită nodului curent, graful are o muchie între noduri de pe același nivel și deci nu poate fi bipartit.
• În caz contrar (s-a realizat parcurgerea BFS fără a apărea această situație), graful este bipartit și nodurile sunt etichetate cu mulțimea din care fac parte.

cât timp încă sunt noduri nevizitate
{
    n = primul nod nevizitat.
    
    dacă n este izolat 
    {
        return false
    }
    
    nivel[n] = par
    enqueue(Q, n)  // Punem nodul sursă în coada Q

    // BFS
    cât timp coada Q nu este vidă
    {
        v = dequeue(Q)           // Extragem nodul v din coadă
        pentru fiecare u dintre vecinii lui v
        dacă nivel[u] nedefinit
        {
            nivel[u] = (nivel[v] == par) ? impar : par
            enqueue(Q, u)    // Adăugăm nodul u în coadă
        }
        altfel dacă nivel[u] == nivel[v]
        {
            // Două noduri consecutive au acelaşi nivel
            // Graful nu este bipartit
            return false
        }
    }
}

// S-a terminat parcurgerea BFS fără să apară două noduri consecutive pe acelaşi nivel
// Graful este bipartit
return true

Un lanţ hamiltonian într-un graf orientat sau neorientat G = (V, E), este o cale ce trece prin fiecare nod din V o singură dată. Dacă nodul de început şi cel de sfârşit coincid (este vizitat de două ori) vom spune că lanţul formează un ciclu hamiltonian.

Un graf ce conţine un ciclu hamiltonian se numeşte graf hamiltonian.

În cadrul acestui laborator, vom folosi metoda backtracking pentru găsirea unui ciclu hamiltonian. Pentru contruirea soluţiei, se menţine o listă în care sunt adăugate nodurile parcurse:

• La fiecare pas, vom adăuga unul dintre nodurile care nu se află deja in listă
• Se construieşte recursiv lanţul de lungime_lanţ + 1
• Dacă dimensiunea listei este n (numărul de noduri din graf), se verifică dacă primul şi ultimul nod din listă sunt adiacente. În caz contrar, s-a găsit un lanţ hamiltonian, dar nu şi un ciclu hamiltonian.
• Pentru a afla toate ciclurile hamiltoniene, la revenirea cu succes din apelul recursiv nu se iese din funcţie la găsirea primei potriviri, ci se încearcă în continuare alte posibilităţi.

// Inițializări
număr_noduri = număr de noduri din V

// Verifica dacă un nod este nou în lanţ
nouÎnLanţ(nod, lanţ)
{
    return !lanţ.conţine(nod)
}

// Construieste lanţul hamiltonian
construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ)
{
    dacă lungime_lanţ == număr_noduri
    {
        început = lanţ[0]
        sfârşit = ultimul element din lanţ

        // Există muchie între cele 2 noduri
        dacă muchie(început, sfârşit)
        {
            // Lanţul este ciclu
            afişează ciclul
            return true
        }
    }
    altfel
    {
        pentru orice nod u din V
        {
            sfârşit = ultimul element din lanţ
            dacă muchie(u, sfârşit) şi nouÎnLanţ(u, lanţ)
            {
                addLast(lanţ, u)    // Adaugă u la lanţ
                
                construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ + 1)

                // Pentru afişarea unui singur ciclu hamiltonian linia anterioară este inlocuită cu:
                // dacă construireLanţ(lanţ, lungime_lanţ + 1) == true
                //       return true
                
                removeLast(lanţ, u) // Backtrack
            }
        }
    }
    return false
}

// Apelează construirea ciclurilor hamiltoniene
cicluriHamiltoniene
{
    // Din moment ce ar trebui să formeze un ciclu, lanţul poate incepe cu orice nod
    sursă = alegem un nod aleator din V
    addLast(lanţ, sursă)
    construireLanţ(lanţ, 1)
}

Scheletul de laborator

1) [3.5p] Rezolvați problema Connected Components.

2) [3.5p] Rezolvați problema Minimum Path.

3) [3p] Rezolvati problema Check Bipartite.

1. Componente conexe
2. Distanţa minimă
3. Sortare topologică
4. Graf bipartit
5. Lanţ hamiltonian si ciclu hamiltonian
6. Dijkstra
7. Bellman-Ford
8. Floyd-Warshall
9. A*