Table of Contents

Laborator 8 - Arbori și Arbori Binari

Responsabili

Obiective

În urma parcurgerii articolului, studentul va fi capabil să:

Noțiuni teoretice

Noțiunea de arbore. Arbori binari

Matematic, un arbore este un graf neorientat conex aciclic.

În ştiinţa calculatoarelor, termenul de arbore este folosit pentru a desemna o structură de date care respectă definiţia de mai sus, însă are asociate un nod rădăcină şi o orientare înspre sau opusă rădăcinii.

Arborii sunt folosiţi în general pentru a modela o ierarhie de elemente.

Astfel, fiecare element (nod) poate deţine un număr de unul sau mai mulţi descendenţi, iar în acest caz nodul este numit părinte al nodurilor descendente.

Fiecare nod poate avea un singur nod părinte. Un nod fără descendenţi este un nod terminal, sau nod frunză.

În schimb, există un singur nod fără părinte, iar acesta este întotdeauna rădăcina arborelui (root).

Un arbore binar este un caz special de arbore, în care fiecare nod poate avea maxim doi descendenţi:

În funcţie de elementele ce pot fi reprezentate în noduri şi de restricţiile aplicate arborelui, se pot crea structuri de date cu proprietăţi deosebite: heap-uri, arbori AVL, arbori roşu-negru, arbori Splay şi multe altele. O parte din aceste structuri vor fi studiate la curs şi în laboratoarele viitoare.

În acest articol ne vom concentra asupra unei utilizări comune a arborilor binari, şi anume pentru a reprezenta şi evalua expresii logice.

Reprezentarea arborilor binari

Arborii binari pot fi reprezentați în mai multe moduri. Structura din spatele acestora poate fi un simplu vector, alocat dinamic sau nu, sau o structură ce folosește pointeri, așa cum îi vom reprezenta în acest articol.

BinaryTree.h
#ifndef __BINARY_TREE_H__
#define __BINARY_TREE_H__
 
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
 
template <typename T>
class BinaryTree
{
public:
    BinaryTree();
    ~BinaryTree();
 
private:
    BinaryTree<T> *leftNode;
    BinaryTree<T> *rightNode;
 
    T *pData;
};
 
#endif // __BINARY_TREE_H__

Structura nodului de mai sus este clară:

Pentru toți membrii unui nod, trebuie să alocați memorie dinamic, dar nu in constructor! Alocați memoria doar atunci când aveți nevoie de ea.

De asemenea, dezalocarea memoriei se va face recursiv, dar numai atunci cand este necesar.

Pentru a ne reaminti cum alocăm memorie: 

BinaryTree<T> *node = new BinaryTree<T>();
delete node;
 
T *pData = new T;
delete pData;

Parcurgerea arborilor

Se implementeaza foarte usor recursiv:

Preordine

Exemplu: 

PreorderTraverse(BinaryTree<T> *node)
{
    Process(node->pData);
    PreorderTraverse(node->leftNode);
    PreorderTraverse(node->rightNode);
}

Inordine

Postordine

Lățime

Se folosește o coadă, iar la fiecare pas se extrage din această coadă câte un nod și se adăugă înapoi în coadă nodul stâng, respectiv drept al nodului scos. Acest algoritm continuă până când coada devine goală.

Nodurile frunză nu au descendenţi → nodul stâng şi nodul drept pointează la NULL şi nu trebuie adăugate în coadă.

Arbori asociați expresiilor

O expresie matematică este un şir de caractere compus din:

Fiecărei expresii i se poate asocia un arbore binar, în care:

În terminologia limbajelor formale şi a compilatoarelor, acest arbore se mai numeşte şi Abstract Syntax Tree (AST).

Pentru expresia (a+1)*(b+10)+25/c , arborele asociat este prezentat mai jos:

Evaluarea expresiilor

Următorul pseudo-cod reprezintă în linii mari algoritmului de evaluare a expresiilor reprezentate sub formă de arbori binari: 

Evalueaza(Node nod) {
    // Daca nu este nod terminal...
    if (nod->left || nod->right) {
        // Evaluam expresiile subarborilor...
        res1 = Evalueaza(nod->left);
        res2 = Evalueaza(nod->right);
 
        // ... si combinam rezultatele aplicand operatorul
        return AplicaOperator(nod->op, res1, res2);
   } else {
        // Daca nodul terminal contine o variabila, atunci intoarcem valoarea variabilei
        if (nod->var) {
            return Valoare(nod->var);
        } else { // Avem o constanta
            return nod->val;
        }
   }
}

Cel mai mic strămoș comun

O problemă importantă în analiza arborilor este determinarea celui mai mic strămoș comun (LCA - Lowest Common Ancestor). LCA-ul a două noduri, u si v, este nodul cel mai depărtat de rădăcină care îi are pe u și v ca descendenți.

Spre exemplu, cel mai mic strămoș comun al nodurilor 1 și 12 este 0, în timp ce pentru nodurile 4 și 7, acesta este 1.

Schelet

Schelet

Exerciții

Fiecare laborator va avea unul sau doua exerciții publice si un pool de subiecte ascunse, din care asistentul poate alege cum se formeaza celelalte puncte ale laboratorului.

În cadrul arhivei, aveți la dispoziție un parser pentru expresii logice sub forma normal disjunctivă - DNF: 

(Expresie) := (Termen1) | (Termen2) | (Termen3) | ... | (TermenN), N >= 1
(Termen) := (Literal1) & (Literal2) & ... & (LiteralM), M >= 1

Câteva exemple de expresii logice valide: E1 = a & b & !c E2 = a & b | c & !a

În cazul expresiilor logice considerate în forma de mai sus şi ţinând cont de precedenţa convenabilă a operatorilor, arborele expresiilor se generează destul de uşor, de exemplu dupa regulile următoare (folosită în implementarea din laborator - de remarcat ca sunt mai multe posibilităţi de generare a acestui arbore):

Se genereaza un nod pentru prima disjuncţie (|) întâlnită:

Pentru fiecare subarbore asociat unui termen se generează un nod pentru prima conjuncţie întâlnită (&):

Negarea este reținută direct în nodul literal, deci pentru a trata acest caz trebuie să verificați primul caracter al nodului.

1) [5p] Implementați (și compilați!) următoarele funcții pentru un arbore binar:

2) [5p] Implementaţi (şi compilaţi!) următoarele funcţii pentru un arbore binar:

Folosiţi-vă de proprietăţile de bază ale unui arbore (datele pe care le puteţi obţine de la subarborele stâng / drept).

3) [6p] Implementați (și compilați!) următoarele funcții pentru un arbore binar:

4) [3p] (ast.cpp) Terminați de implementat parser-ul, actualizând și populând conținutul nodurilor din arbore.

Pentru testarea acestui exercițiu, folosiți o expresie fără variabile, de exemplu: 0 & 1 | 1 & !0 | !1 | 1 & 1 & 1

5) [4p] (ast.cpp) Implementați evaluarea unei expresii în evaluateAST()

6) [2p] Folosiți un hashtable pentru a ține evidența valorilor variabilelor. Variabilele sunt declarate la început, folosind atribuiri variabila = valoare. Pentru fiecare astfel de linie citită, parsați-o și introduceți variabila împreună cu valoarea ei într-un hashtable (puteți folosi clasa unordered_map din STL. ) Pentru evaluarea expresiei, de fiecare dată când intâlniți o variabilă, vedeți ce valoare îi este atribuită în hashtable și folosiți acea valoare pentru evaluarea expresiei.

Interviu

Această secțiune nu este punctată și încearcă să vă facă o oarecare idee a tipurilor de întrebări pe care le puteți întâlni la un job interview (internship, part-time, full-time, etc.) din materia prezentată în cadrul laboratorului.

Bibliografie

  1. Binary Tree
  2. AVL
  3. Red-Black Tree
  4. Splay Tree
  5. AST
  6. DNF