Table of Contents

Laborator 10 - Arbori Binari de Căutare

Responsabili:

Obiective

În urma parcurgerii laboratorului, studentul va fi capabil să:

Noțiuni teoretice

Un arbore binar de căutare este un arbore binar care are în plus următoarele proprietăți:

Arborii binari de căutare permit menţinerea datelor în ordine şi o căutare rapidă a unei chei, ceea ce îi recomandă pentru implementarea de mulţimi şi dicţionare ordonate.

O importantă carcteristică a arborilor de căutare, este aceea că parcurgerea inordine produce o secvenţă ordonată crescător a cheilor din nodurile arborelui.

Valoarea maximă dintr-un arbore binar de căutare se află în nodul din extremitatea dreaptă şi se determină prin coborârea pe subarborele drept, iar valoarea minimă se află în nodul din extremitatea stângă, determinarea fiind simetrică.

Căutarea unei chei într-un arbore binar de căutare este asemănătoare căutării binare: cheia căutată este comparată cu cheia din nodul curent (iniţial nodul rădăcină). În funcţie de rezultatul comparaţiei apar trei cazuri:

Inserarea unui nod se face, în funcţie de rezultatul comparaţiei cheilor, în subarborele stâng sau drept. Dacă arborele este vid, se creează un nod care devine nodul rădăcină al arborelui. În caz contrar, cheia se inserează ca fiu stâng sau fiu drept al unui nod din arbore.

Ștergerea unui nod este o operaţie puţin mai complicată, întrucât presupune o rearanjare a nodurilor. Pentru eliminarea unui nod dintr-un arbore binar de căutare sunt posibile următoare cazuri:

În cazul ştergerii unui nod frunză sau a unui nod având un singur successor, legătura de la părintele nodului de şters este înlocuită prin legătura nodului de şters la succesorul său (NULL în cazul frunzelor).

Eliminarea unui nod cu doi succesori se face prin înlocuirea sa cu nodul care are cea mai apropiată valoare de nodul şters. Acesta poate fi nodul din extremitatea dreaptă a subarborelui stâng (predecesorul) sau nodul din extremitatea stânga a subarborelui drept (succesorul). Acest nod are cel mult un successor.

Complexitatea operaţiilor (căutare, inserare, ștergere) într-un arbore binar de căutare este - pe cazul mediu - O(logn).

Exemplu

BinarySearchTree.h
#ifndef __BINARY_SEARCH_TREE__H
#define __BINARY_SEARCH_TREE__H
 
template <typename T>
class BinarySearchTree
{
public:
    BinarySearchTree();
    ~BinarySearchTree();
 
    void insertKey(T x);
    void removeKey(T x);
    BinarySearchTree<T>* searchKey(T x);
    void inOrderDisplay();
 
private:
    BinarySearchTree<T> *leftNode;
    BinarySearchTree<T> *rightNode;
    BinarySearchTree<T> *parent;
    T *pData;
};
 
#endif // __BINARY_SEARCH_TREE_H

Exerciții

Acest laborator se va realiza pornind de la scheletul de cod.

Observații privind scheletul de cod:

1. [3p] Implementați următoarele funcționalități de bază ale unui arbore binar de căutare:

2. [2p] Implementați următoarele funcționalități avansate ale unui arbore binar de căutare: 

T findMin ();
T findMax ();
int findLevels();
void displayLevel(int level);

3. Implementați următoarele funcționalități avansate ale unui arbore binar de căutare:

  1. [3p]Definim noţiunea de 'calea de la rădacină la frunze' ca fiind o secvenţă de noduri ce începe cu nodul rădacină şi coboară spre un nod frunză. Pentru fiecare astfel de cale din arbore însumaţi valorile din noduri. Afişaţi în ordine descrescătoare sumele obţinute pentru fiecare cale din arbore de la rădăcină la frunze. Implementaţi eficient, ţinând cont de faptul ca arborele binar este unul de căutare complet. (TODO 3)
               15            
             /    \                                    
           10      20                                     
           /      /  \                                   
          4      17   23                                 
         / \    /  \    \
        2   6  16  19   32

4. [3p] Implementați funcția de ștergere a unui element. (TODO 4)

Trebuie să tratați și cazul în care se va șterge elementul din rădăcină.