Prezentarea PowerPoint pentru acest laborator poate fi găsită aici: aici

În acest laborator vom începe să experimentăm efectele semnalelor eşantionate şi procesarea semnalelor digitale.

Materiale ajutătoare:

1. Cartea lui Don Johnson
2. Secţiunile 5.1-5.3

[4p]

Vom încerca să implementăm un sistem de procesare digitală simplă, care funcţionează după cum urmează:

• luaţi 5 eşantioane (samples) din semnalul de intrare, $d_1, d_2, \ldots, d_5$.
• faceţi o medie a celor 5 eşantioane (samples), $a = 0.2 \cdot (d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5)$
• puneţi la ieşire valoarea curentă $y(n) = a$

Urmăriţi aceşti paşi:

1. Creaţi câteva secvenţe digitale care reprezintă sinusoide de diferite frecvenţe (1, 2, 10, 20, 100 Hz), la aceeaşi frecvenţă de eşantionare (folosiţi acelaşi număr de eşantioane, e.g. $N=128$). [1p]
2. Implementaţi sistemul de procesare menţionat mai sus. [1p]
3. Creaţi secvenţele corespunzătoare de ieşire. [1p]
4. Plotaţi toate secvenţele de intrare/ieşire. [1p]
5. Ce fel de sistem de procesare este acesta ?
6. Cum ați putea implementa sistemul de procesare menționat mai sus, folosind funcția 'filter'? (opțional)

[3p]

În acest exercițiu vom experimenta subeșantionarea, metodă care reduce frecvența de eșantionare necesară pentru a obține întreg spectru al semnalului.

Un semnal real (un cosinus sau o sinusoidă) cu o frecvență purtătoare (centrată) la 3kHz este eşantionată la 8 kHz. Lăţimea de bandă a semnalului este 1 kHz, cum puteţi vedea mai jos:

Task-uri/întrebări:

1. Generați semnalul $signal = cos(2 \cdot \pi \cdot f_c \cdot t)$, unde $f_c = 3000$ Hz, $t=0:T_s:100 \cdot T_s$ și $T_s = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{8000}$
2. De ce avem energie în ambele frecvenţe $f_c$ şi $-f_c$ ?
3. Folosiţi Matlab pentru a calcula transformata Fourier Discretă a unei sinusoide de $3kHz$ eşantionată la $8kHz$. Folosiți $N=64$ pentru fft. Folosiți acest cod pentru DFT: [1p]

   figure;
   fx = zeros(1, N);
   fidx = (fs/N) * linspace(0,N-1,N);
   spectrum = fft(signal, N);
   stem(fidx, abs(spectrum));
   xlabel('Frequency (Hz)');
   ylabel('Amplitude');
   title('Spectrum of signal');

4. Plotaţi (cu 'stem') rezultatele şi observaţi frecvenţele. Acum folosiţi “fftshift” pe rezultatul obţinut de la “fft” şi plotaţi din nou rezultatele. Folosiți acest cod: [1p]

   figure;
   fidx = (fs/N)*linspace(-N/2, N/2-1, N);
   stem(fidx, abs(fftshift(spectrum)));
   xlabel('Frequency (Hz)');
   ylabel('Amplitude');
   title('Zero-centred frequency spectrum of signal');

5. De ce într-un caz avem semnal la $3 kHz$ şi $5 kHz$ în timp ce, în celălalt caz pare să avem la $-3 kHz$ şi $3 kHz$ ?
6. Care este semnificaţia semnalului de $5 kHz$ ? Când plotaţi rezultatele de la “fft” luaţi în considerare că, în mod implicit output-ul transformatei Discrete Fourier, deci şi “fft”, arată frecvenţele de la $0$ la $f_s$ (frecvenţa de eşantionare).
7. Putem să reducem frecvenţa de eşantionare în timp ce încă detectăm spectrul dorit de frecvenţe ? (vedeţi bandpass sampling Fig 2-7). Cât de mult putem reduce frecvenţa de eşantionare? Ce se întâmplă dacă reducem frecvenţa de eşantionare sub 2B? [1p]

[3p]

Pentru reconstruirea unui semnal ideea este: - dacă se face sampling pe un semnal cu $f_s > 2 \cdot W$ (unde $W$ este frecvenţa maximă a semnalului, i.e. respectiv Nyquist), atunci puteţi să reconstruiţi din semnalul digital semnalul analog (exceptând o eroare de cuantizare) pe baza unui low pass filter (cu un sinc).

Vom simula un semnal sinus analog, pe care îl vom eșantiona, apoi îl vom reconstrui. Pentru asta ar trebui să faceţi următorii paşi:

• simulați un semnal sinus 'analog'. Pentru aceasta generați un semnal sinus de frecvență 1Hz cu un număr mare de puncte (i.e. 5000 de puncte pe 5 perioade). Pentru timp folosiți:

   t = linspace(0, 5, N_analog); 

  (i.e. sinusoida face 5 perioade).

• construiți semnalul digital, adică varianta eșantionată a semnalului analog, folosind un număr mai mic de puncte (i.e. de 100 de ori mai puține) din semnalul analog. [1p]
• faceți din semnalul digital un semnal continuu (analog), prin crearea unui semnal de aceeași lungime ca cel analog inițial, folosind valorile din semnalul digital pentru valorile de la momentele eșantionate și zero în rest. [1p]
• faceţi convoluţie între un sinc (de frecvenţă $f_s$, dar centrat pe zero, adică un semnal simetric) şi semnalul continuu creat anterior. [1p]

Pentru a face convoluție cu un semnal sinc, folosiți codul următor:

N_sinc = N_analog;
t_sinc = linspace(-0.2, 0.2, N_sinc/10);
sincvec = sinc(f_s*t_sinc);
s_cont_filtered = conv(s_cont, sincvec);