Responsabili:

• Darius Neațu (CA 2019-2020)
• Dorinel Filip (CA 2019-2020)
• Andrei Pârvu

Probleme

Teste

În urma parcurgerii acestui laborator studentul va fi capabil:

• să declare matrice si orice fel de tablou multidimensional;
• sa initializeze aceste structuri, atat din declaratie, cat si prin instructiuni iterative;
• sa cunoasca regulile de reprezentare ale tablourilor in memorie si sa inteleaga modul in care compilatorul interpreteaza operatorii de indexare;
• sa cunoasca scheme comune de utilizare a acestor structuri;
• sa foloseasca practici recunoscute si recomandate pentru scrierea de cod sursa care implica lucrul cu matrice;
• sa recunoasca si sa evite erorile comune de programare legate de aceste structuri

Matricea este o colecţie omogenă şi bidimensională de elemente. Acestea pot fi accesate prin intermediul a doi indici, numerotaţi, ca şi în cazul vectorilor, începand de la 0. Declaraţia unei matrice este de forma:

<tip_elemente> <nume_matrice>[<dim_1>][<dim_2>];

De exemplu, avem:

int mat[5][10];

#define MAX_ELEM 100
float a[MAX_ELEM][MAX_ELEM];

Numărul de elemente ale unei matrice va fi dim_1*dim_2, şi semnificaţia fiecărei dimensiuni este o chestiune ce ţine de logica programului. În matematică, prima dimensiune poate să însemne linia şi a doua coloana pentru fiecare element, însa acest lucru nu este obligatoriu. Este necesar totuşi, pentru funcţionarea corectă a programului, să se respecte semnificaţiile alese pe întreg parcursul codului sursă.

Vectorii şi matricele se pot extrapola la noţiunea generală de tablou cu mai multe dimensiuni, care se declară în modul următor:

<tip_elemente> <nume_tablou>[<dim_1>][<dim_2>]...[<dim_n>];

De exemplu:

int cube[3][3][3];

Deşi, în cazul a mai mult de 3 dimensiuni, tablourile pot să nu mai aibă sens concret sau fizic, acestea pot fi deosebit de utile în multe situaţii. În acest laborator ne vom rezuma totuşi la tablouri bidimensionale.

Fie $A \in {\mathbb R}^{m \times n}$, $B \in {\mathbb R}^{m \times n}$, atunci $(A+B) \in {\mathbb R}^{m \times n}$, unde: $(A+B)_{i,j} = A_{i,j} + B_{i,j}$

Exemplu:

$$ \Large \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 1 & 6 \\ 11 & 9 \end{bmatrix} $$

Fie $A \in {\mathbb R}^{m \times n}$, $B \in {\mathbb R}^{n \times p}$, atunci $(AB) \in {\mathbb R}^{m \times p}$, unde elementele $A.B$ sunt date de formula: $(AB)_{i,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}$

Exemplul din stânga prezintă cum se calculează valorile (1,2) si (3,3) ale 'AB' daca 'A' este o matrice 3×2, si 'B' o matrice 2×3. Pentru calculul unui element din matrice se consideră o linie respectiv o coloană din fiecare matrice conform săgeţilor. Elementele din acestea sunt înmulţite câte 2 conform înmulţirii pe vectori, apoi suma produselor constituie elementul din matricea finală

$$ (\mathbf{AB})_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2} \\ (\mathbf{AB})_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3} $$

Exemplu:

$$ \Large \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 \\ -1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 & -1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} $$

Cunoaşterea reprezentării în memorie a tablourilor vă ajută să înţelegeţi mai bine cum se lucrează cu aceste tipuri de date şi să evitaţi atât erorile comune, cât şi pe cele mai subtile. Aşa cum se ştie, fiecare variabilă are asociata o anumită adresă în memorie şi ocupă o anumită lungime, măsurată în octeţi. Standardul C impune ca un tablou să fie memorat într-o zonă continuă de memorie, astfel ca pentru un tabloul de forma: T tab[dim1][dim2]…[dimn]; dimensiunea ocupată în memorie va fi sizeof(T)*dim1*dim2*…*dimn. Vom considera în continuare cazul particular al unui vector vect de lungime n, şi al unui element oarecare al acestuia, de pe pozitia i. Atunci când întalneşte numele vect, compilatorul va intelege “adresa în memorie de la care începe vectorul vect”. Operatorul de indexare [] aplicat numelui vect instruieşte compilatorul să “evalueze acel element de tipul T, care se află pe pozitia i în vectorul care începe de la adresa vect”. Acest lucru se poate exprima direct: “evaluarea variabilei de tip T de la adresa vect + i * sizeof(T)”.

În ultima formulare observaţi ca nu mai intervine sub nici o formă dimensiunea vectorului dată la declarare. Aceea a fost necesară doar compilatorului, ca sa ştie câtă memorie să aloce pentru reprezentarea acestuia. De asemenea, observaţi că sunt permise indexari în afara spaţiului de memorie alocat, şi astfel programul va putea, din greşeala, accesa alte zone de memorie, lucru care poate avea repercursiuni grave. În cel mai bun caz programul nostru se va comporta foarte ciudat (erori în locuri total imprevizibile), şi în cel mai rău caz întreg sistemul va fi blocat (în cazul sistemelor care nu au implementate spaţii virtuale de memorie proprii fiecărei aplicaţii - platformele Windows NT si Linux).

Faptul că graniţa dintre vectori şi adrese de memorie este atât de fină în limbajul C, sintaxa acestuia permite expresii ciudate, de forma:

char a[100];
a[0] = 1;
3[a] = 5;

Instrucţiunea din urmă înseamna pur şi simplu “asignează 5 variabilei de tip char de la adresa 3 + a * sizeof(char) = 3 + a”. Observaţi că aceasta este echivalentă cu a[3] = 5;

De asemenea, un alt avantaj apare la definirea unui parametru al unei funcţii, de tip vector, caz în care nu este necesară precizarea dimensiunii acestuia: void sort(int[] vect, n);

• Declararea unei matrici unitate:

#define M 20 /* nr maxim de linii si de coloane */
 
int main() {
  float unit[M][M];
  int i,j,n;
 
  printf("nr.linii/coloane: ");
  scanf("%d", &n);
  if (n > M) {
    return;
  }
 
  for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
      if (i != j) {
        unit[i][j]=0;
      } else {
        unit[i][j]=1;
      }
    }
  }
 
  return 0;
}

• Citire/scriere de matrice de reali:

int main() {
  int nl, nc, i, j;
  float a[20][20];
 
  /* Citire de matrice */
  printf("nr.linii: ");
  scanf("%d", &nl);
  printf("nr.coloane: ");
  scanf("%d", &nc);
 
  if (nl > 20 || nc > 20) {
    printf("Eroare: dimensiuni > 20 \n");
    return ;
  }
 
  for (i = 0; i < nl; i++) {
    for (j = 0; j < nc; j++) {
      scanf("%f", &a[i][j]);
    }
  }
 
  /* Afisare matrice */
  for (i = 0; i < nl; i++) {
    for (j = 0; j < nc; j++) {
      printf("%f ",a[i][j]);
    }
    printf ("\n");
  }
 
  return 0;
}

• Inversarea indicilor pentru elementele unei matrice sau tablou. E usor sa-l inversezi pe i cu j in expresia A[i][j] astfel ca trebuie sa fiti atenti cand scrieti astfel de cod. Luati in considerare si folosirea de nume mai sugestive pentru variabile.

Wikipedia - Matrix Multiplication

GDB - Tutorial

Primul exercitiu presupune modificarea/adaugarea de instructiuni unui cod existent pentru a realiza anumite lucruri. In momentul actual programul realizeaza transpunerea unei matrice patratice primite ca parametru. Se afiseaza atat matricea initiala, cat si matricea transpusa.

• Nu uitati ca trebuie sa utilizam un coding style adecvat atunci cand scriem sursele.

ex1.c

#include <stdio.h>
 
#define N 100
 
 
void transpose_matrix(int m[N][N], int n)
{
	int i, j, tmp;
 
	for (i = 0; i < n; i++) {
		for (j = i + 1; j < n; j++) {
			tmp = m[i][j];
			m[i][j] = m[j][i];
			m[j][i] = tmp;
		}
	}
}
 
 
void print_matrix(int m[N][N], int n)
{
	int i, j;
 
	for (i = 0; i < n; i++) {
		for (j = 0; j < n; j++) {
			printf("%d ", m[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	printf("\n");
}
 
 
int main(void)
{
	int i, n = 3;
 
	int V[N][N] = {
		{1, 2, 3},
		{4, 5, 6},
		{7, 8, 9}
	};
 
	print_matrix(V, n);
	transpose_matrix(V, n);
	print_matrix(V, n);
 
	return 0;
}

Cerinte:

• Realizati citirea unei matrice patratice de la tastatura - se va suprascrie n.
• Realizati suma elementelor de deasupra diagonalei principale.
• Afisati elementele de sub diagonala secundara. In locul elementelor de deasupra diagonalei secundare se va afisa 0.

Următoarele două probleme vă vor fi date de asistent în cadrul laboratorului.

Checker laborator 6 Tutorial folosire checker laborator

1. [2p] Următorul program ar trebui să citească și să afișeze o matrice. Compilați și rulați.

matrix.c

#include <stdio.h>
 
#define MAX	100
 
void read_matrix(int a[MAX][MAX], int n)
{
	int i, j;
 
	scanf("%d", &n);
	for (i = 0; i < n; i++)
		for (j = 0; j < n; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);
}
 
int main(void)
{
	int a[MAX][MAX], n = 1, i, j;
 
	read_matrix(a, n);
 
	for(i = 0; i < n; i++) {
		for (j = 0; j < n; j++)
			printf("%d ", a[i][j]);
		printf("\n");
	}
 
	return 0;
}

• ce observați?
• folosind printf, afișați după apelul read_matrix valoarea lui n și a lui a[0][0]
• identificați problema
• rezolvați problema

1. [3p] Următorul program inversează elementele unui vector. Compilați și rulați.

swap.c

#include <stdio.h>
 
#define MAX	100
 
void magic(int a[MAX], int n)
{
	int i;
 
	for (i = 0; i < n; i++)
		a[i] = a[i] & (~(0x01 & 0x42));
 
	for (i = 0; i < n/2; i++) {
		a[i] = a[i] ^ a[n - i];
		a[n - i] = a[i] ^ a[n - i];
		a[i] = a[i] ^ a[n - i];
	}
 
	for (i = 0; i < n; i++);
		a[i] = a[i] & (~(0x42 & 0x101));
 
}
 
int main(void)
{
	int a[MAX], n, i;
 
	for (i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
 
	magic(a, n);
 
	for (i = 0; i < n; i++); {
		printf("%d ", a[i]);
	}
 
	return 0;
}

• folosiți gdb pentru a identifica și rezolvați problemele

1. Scrieţi un program pentru înmulţirea a două matrice, dacă aceasta este posibilă. Va trebui să implementaţi două funcţii:
   

• [1p] una pentru citirea unei matrice într-un tablou bidimensional, dat ca parametru.
• [2.5p] una care să realizeze efectiv înmulţirea a două matrice.

1. [1.5p] Scrieţi un program care ridică o matrice patratică cu n linii şi n coloane la puterea p, cu p număr întreg pozitiv.

• Exercitiul 1 [2 pct]: Citiți de la tastatură o matrice (puteți hardcoda dimensiunea maximă a matricei). Afișați matricea transpusă.

Exemplu:

Input: 		2 4		// număr de linii urmat de număr de coloane din matrice
                1 2 3 4
		5 6 7 8

Output: 	1 5
		2 6
		3 7
		4 8

• Exercitiul 2 [2 pct]: Citiți de la tastatură 2 matrice (puteți hardcoda dimensiunea maximă a matricelor) – prima matrice numită în continuare A, iar a doua B. Determinați dacă este posibilă operația de înmulțire de matrice folosind drept operanzi cele două matrice. Determinați toate rezultatele posibile și afișati-le la consolă, precizând ordinea în care s-au înmulțit operanzii. Dacă nu se poate efectua nicio operație de înmulțire, afișați mesajul „Nu se poate efectua operatia de inmultire cu aceste matrice!”.

Exemplu:

Input: 		2 2		// număr de linii urmat de număr de coloane din matricea A
                1 2
		3 4
		2 2		// număr de linii urmat de număr de coloane din matricea B
                5 6
		7 8

Output: 	A * B
		19 22
		43 50

		B * A
		23 34
		31 46

• Exercitiul 3 [2 pct]: Folosind logica funcției implementată anterior, implementați operația de ridicare la putere a unei matrice. Citiți de la consolă matricea, respective puterea la care trebuie ridicată matricea. Afișați la consolă rezultatul obținut sau mesajul “Operatie invalida” in caz contrar.

Exemplul 1:

Input: 		2 2		// număr de linii urmat de număr de coloane din matrice
                1 2
		3 4
		3		// puterea la care trebuie ridicată matricea anterioară

Output: 	37 54
		81 118

Exemplul 2:

Input: 		2 3		// număr de linii urmat de număr de coloane din matrice
                1 2 3
		4 5 6
		3		// puterea la care trebuie ridicată matricea anterioară

Output: 	Operatie invalida

• Exercitiul 4 [2 pct]: Citiți o matrice pătratică de la tastatură. Intersecția diagonalelor matricei, formează 4 zone „triunghiulare” în matrice. Implementați o funcție care primește ca parametru o matrice pătratică și dimensiunea laturii acesteia și afișează elementele aflate în triunghiul superior.

Exemplul 1:

Input: 		4		// dimensiunea laturii matricei
                1 2 3 4
		5 6 7 8
		9 0 1 2
		3 4 5 6

Output: 	1 2 3 4
		6 7






Exemplul 2:

Input: 		3		// dimensiunea laturii matricei
                1 2 3
		4 5 6
		7 8 9

Output: 	1 2 3
		5

• Exercitiul 5 [2 pct]: Se citesc două matrice de la tastatură. Verificați dacă a doua matrice este submatrice a primei matrice.

Exemplul 1:

Input: 		2 2		// număr de linii urmat de număr de coloane din matricea A
                1 2
		3 4

		2 2		// număr de linii urmat de număr de coloane din matricea B
                5 6
		7 8

Output: 	Fals

Exemplul 2:

Input: 		2 2		// număr de linii urmat de număr de coloane din matricea A
                1 2
		3 4

		3 3		// număr de linii urmat de număr de coloane din matricea B
                5 6 4
		1 2 5
		3 4 6

Output: 	Adevarat

• Bonus [2 pct]: CSe citește o matrice A de la tastatură. Afișați la consolă o matrice B cu proprietatea că B[i][j] = max(A[0..i][0..j]), unde max(A[0..i][0..j]) înseamnă elementul maxim din submatricea A care are colțul stânga – sus în A[0][0] și colțul dreapta – jos în A[i][j].

Exemplu:

Input: 		3 4		// număr de linii urmat de număr de coloane din matricea A
                1 2 5 2 
		6 3 9 8
		4 0 4 5

Output: 	1 2 5 5
		6 6 9 9
		6 6 9 9

• Cheatsheet matrici